首先得明确：你遇到的问题不是“没有解”，而是常规的复合中点法误差公式在这里不适用，因为这个公式的前提条件没满足。

先拆解一下你的问题：

• 原积分$\int_0^{1\frac{1}{\sqrt{x(1-x)}}dx$其实是收敛的，它的解析值是$\pi$（可以通过变量替换$x=\sin}2\theta$快速验证：积分变成$\int_0^{\pi/2}2d\theta=\pi$）。
• 你推导的二阶导数$f''(x)$确实在$x\to0^+$或$x\to1-$时趋向无穷，这意味着$f(x)$在区间端点处是奇异的，而常规的复合中点法误差公式$E(f)=\frac{b-a}{24}f''(c)h^2$要求$f''(x)$在整个$[a,b]$上连续且有界——显然这个前提在这里不成立，所以你没法用这个公式来估计误差，自然也没法通过找$\max|f''(x)|$来计算最小的$M$。

那该怎么处理这种情况呢？给你几个可行的思路：

• 变量替换消去奇异性：
  比如做替换$x=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sin t$，这样$x(1-x)=\frac{1}{4}(1-\sin^{2t)=\frac{1}{4}\cos}2t$，原积分变成$\int_{-\pi/2}^{{\pi/2}\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4}\cos}2t}}*\frac{1}{2}\cos t dt=\int_{-\pi/2}^{{\pi/2}1dt=\pi$，这直接得到了解析解；如果要数值计算，替换后的被积函数二阶导数为0，用复合中点法可以做到零误差。如果选择其他替换（比如$x=t}2$），也能降低奇异程度，让数值计算更容易处理。
• 拆分区间+自适应积分：
  把区间$[0,1]$拆成$[0,\epsilon]$、$[\epsilon,1-\epsilon]$和$[1-\epsilon,1]$三部分：
  • 中间的$[\epsilon,1-\epsilon]$区间内，$f(x)$的二阶导数是有界的，可以用常规的复合中点法误差公式计算需要的子区间数；
  • 两端的$[0,\epsilon]$和$[1-\epsilon,1]$，可以用积分的渐近展开或者专门的奇异积分数值公式来处理，控制这两部分的误差在$5\times10^{{-5}$以内，再结合中间部分的误差要求，就能让整体误差小于$10}{-4}$。
• 直接尝试数值计算验证：
  因为常规误差公式失效，你可以直接尝试不同的$M$值，计算复合中点法的近似值，和解析值$\pi$比较，看什么时候绝对误差小于$10^{-4}$。比如从$M=100$开始试，逐步增加，直到满足误差要求。

回到你的核心疑问：不是没有解，而是不能用你一开始想到的那个误差公式来推导M。这个积分本身是收敛的，复合中点法也会收敛到正确的积分值，只是因为被积函数的奇异性，常规的误差分析方法不适用，需要换用针对奇异积分的数值技巧。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1169122