Hey，我在做这个线性代数练习的时候遇到了麻烦，有没有大佬能帮忙指点一下？

我有矩阵
$$A=\begin{pmatrix} 3 & 4 &9 &-6 \ 1&2 &-1 &2 \ 2& 3& 4& -2 \end{pmatrix}$$
定义线性变换 $F: \mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}^3$，满足 $F(x) = Ax$。

现在需要找到 $\mathbb{R}^4$ 的一组基 $W=(w_1,w_2,w_3,w_4)$，以及 $\mathbb{R}^3$ 的一组基 $B=(b_1,b_2,b_3)$，使得变换在这两组基下的矩阵为
$$M_B^W(F)=\begin{pmatrix} 1 & 0 &0 &0 \ 0&1 &0 &0 \ 0& 0& 0& 0 \end{pmatrix}$$

我目前的思路是，根据变换矩阵的定义，应该满足：

• $F(w_1)=b_1$
• $F(w_2)=b_2$
• $F(w_3)=0$，$F(w_4)=0$

所以我已经找到了 $\ker(A)$ 的两个向量作为 $w_3$ 和 $w_4$：
$$\ker(A)=\text{span}\left(\begin{pmatrix} -11 \ 6 \ 1 \ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 10 \ -6 \ 0 \ 1 \end{pmatrix}\right)$$
但接下来就不知道该怎么找 $w_1,w_2$ 和对应的基 $B$ 了，有没有简单的方法能解决这个问题呀？

解答思路 #

别担心，你的方向完全没错，剩下的步骤很直观，我给你一步步拆解：

1. 先明确线性变换的像空间维度

先对矩阵 $A$ 做行初等变换，得到行最简形：
$$\begin{pmatrix} 1&2&-1&2 \ 0&-2&12&-12 \ 0&-1&6&-6 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1&0&11&-10 \ 0&1&-6&6 \ 0&0&0&0 \end{pmatrix}$$
可以看到 $A$ 的秩是2，也就是说 $\text{Im}(F)$（$F$ 的像空间）是 $\mathbb{R}^3$ 中一个2维的子空间。

2. 构造 $\mathbb{R}^4$ 的基 $W$

你已经找到了 $\ker(A)$ 的两个线性无关向量 $w_3,w_4$，现在只需要找两个线性无关的向量 $w_1,w_2$，使得 ${w_1,w_2,w_3,w_4}$ 构成 $\mathbb{R}^4$ 的基，并且 $F(w_1),F(w_2)$ 线性无关（这样它们就能作为像空间的基）。

最简单的选择是从标准基里挑：

• 取 $w_1=(1,0,0,0)^T$，计算得 $F(w_1)=A w_1=(3,1,2)^T$
• 取 $w_2=(0,1,0,0)^T$，计算得 $F(w_2)=A w_2=(4,2,3)^T$

验证一下：${w_1,w_2,w_3,w_4}$ 肯定是线性无关的（因为前两个是标准基向量，和后面两个核空间向量不会线性相关），而且 $(3,1,2)^T$ 和 $(4,2,3)^T$ 也是线性无关的，完美符合要求。

3. 构造 $\mathbb{R}^3$ 的基 $B$

按照你最开始的想法，直接令 $b_1=F(w_1)=(3,1,2)^{T$，$b_2=F(w_2)=(4,2,3)}T$，然后找一个不在像空间里的向量作为 $b_3$，比如 $(0,0,1)^T$（你可以验证这三个向量线性无关，刚好构成 $\mathbb{R}^3$ 的基）。

4. 验证变换矩阵

现在我们来核对一下：

• $F(w_1)=b_1=1\cdot b_1 +0\cdot b_2 +0\cdot b_3$，对应矩阵第一列
• $F(w_2)=b_2=0\cdot b_1 +1\cdot b_2 +0\cdot b_3$，对应矩阵第二列
• $F(w_3)=0=0\cdot b_1 +0\cdot b_2 +0\cdot b_3$，对应矩阵第三列
• $F(w_4)=0=0\cdot b_1 +0\cdot b_2 +0\cdot b_3$，对应矩阵第四列

完全符合题目要求的变换矩阵！

小拓展

其实还有一种通用方法：先找核空间的基，再扩充成整个空间的基，然后把扩充的向量在 $F$ 下的像作为像空间的基，再扩充成目标空间的基，这样得到的变换矩阵就是这种“标准型”（也叫矩阵的相抵标准形对应的基选择），本质和上面的步骤一致。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Marco Di Giacomo