我最近在解决一个含实参数的根式方程解的个数问题，题目是求：
$$\sqrt{1-4x^2}=mx+m+\frac{1}{2}$$
（其中$m$为实参数）的解的个数。已知正确结论是：

• 当$-1 \le m \le -\frac{1}{3}$时，方程有1个解
• 当$-\frac{1}{3} < m \le \frac{-2+\sqrt{13}}{3}$时，方程有2个解
• 其他情况方程无解

而且有个限制：不能用将方程变形为$m=\frac{\sqrt{1-4x^2}-\frac{1}{2}}{1+x}$，通过研究直线$y=m$与该函数交点个数的方法，只能用下面两种思路之一来解，但我尝试后遇到了矛盾，想请教问题出在哪。

首先先明确定义域：根号有意义的前提是$-\frac{1}{2}\le x \le \frac{1}{2}$，这个我是清楚的。

代数尝试 #

因为左边是非负的平方根，所以首先要求右边$mx+m+\frac{1}{2} \ge 0$。在这个条件满足时，我对两边平方，整理得到：
$$m^2x2+m^{2+\frac{1}{4}+2m}2x+m+mx+4x^2-1=0$$

接下来我尝试通过判别式来分析解的个数：计算后得到判别式$\Delta=0$时，$m = \frac{-2\pm\sqrt{13}}{3}$。但这似乎只能说明只有这两个$m$值对应方程有1个解？而且通过$\Delta \ge 0$得到的参数范围是$m \le \frac{-2-\sqrt{13}}{3} \lor m \ge \frac{-2+\sqrt{13}}{3}$，这和已知的正确答案完全不匹配。

几何尝试 #

我也试过几何思路：把问题转化为求上半椭圆$y=\sqrt{1-4x^2}$（即$4x2+y^2=1$且$y\ge0$）和直线$y=mx+m+\frac{1}{2}$的交点个数。联立两个方程后，推导过程和代数方法完全一致，自然也得到了和代数尝试相同的矛盾结果。

我猜测的问题点 #

我自己琢磨了下，觉得问题可能出在这几个地方：

• 我没有真正落实$y \ge 0$这个限制条件——联立后求的是直线和整个椭圆的交点，而不是只和上半椭圆（$y\ge0$）的交点；
• 平方操作可能引入了增根，也就是平方后的方程的解不一定满足原方程的非负性要求；
• 可能还需要考虑原方程右边的表达式$mx+m+\frac{1}{2} \ge 0$在定义域$-\frac{1}{2}\le x \le \frac{1}{2}$内的约束，这个条件我只是提了，但没有真正结合到判别式的分析里？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ulyaoth