嘿，我来一步步拆解你的问题，帮你理清换元积分法背后的假设细节：

1. 证明里哪里用到了$g'$连续的假设？ #

你给出的证明只验证了$F(g(x))+c$的导数等于被积函数$f(g(x))\cdot g'(x)$，但这个推导的前提是等式左边的积分$\int f(g(x))\cdot g'(x) dx$是存在的。

$g'$连续的作用就在这里：因为$f$是有原函数$F$的函数（通常教材里默认$f$连续，或者至少保证原函数存在），所以$f(g(x))$是连续函数（连续函数复合依然连续）；而连续函数$g'$和它相乘，得到的被积函数就是连续的——而连续函数一定是黎曼可积的，这就保证了左边的积分确实存在，整个等式才有意义。

如果去掉$g'$连续的假设，$f(g(x))\cdot g'(x)$可能是不可积的，那这个积分等式就无从谈起了。

2. 链式法则是不是不能用在$f$或$g$不可微的情况？ #

完全正确！链式法则的核心前提就是：

• $g$在对应点处可微
• $F$（也就是$f$的原函数）在$g(x)$处可微（因为$f=F'$，所以这等价于$f$在$g(x)$处满足可导的前提）

如果$f$或$g$不可微，链式法则的适用条件不满足，连$F(g(x))$的导数都无法定义，更别说用它来推导积分等式了。

3. 这个定理的必要假设到底应该是什么？ #

不同教材的表述会略有区别，分两种常见情况：

• 基础教材简化版：$f$连续（保证原函数$F$存在），$g$可导且$g'$连续（保证被积函数连续可积，链式法则顺利应用），这也是你书本里的版本，好处是避开了复杂的可积性讨论，适合入门学习。
• 进阶严谨版：$f$连续（原函数存在），$g$可导且$g'$黎曼可积。这时候即使$g'$不连续，被积函数$f(g(x))\cdot g'(x)$作为连续函数和可积函数的乘积，依然是黎曼可积的，等式依然成立。这种版本更严谨，但需要更多关于可积性的知识铺垫。

简单来说，$f$连续、$g$可导是核心必要条件，$g'$连续是为了简化教学的充分条件，不是绝对必要的，但能让推导更直观。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Rose