我刚接触多元函数的极限，最先学到的方法之一是：只要函数在对应点连续，就可以直接代入该点的坐标值来计算极限——这是依据相关定理（注：原问题中提及的定理未给出具体内容）。

最近我在做一道练习题，对比自己的解法和教授的解答（如下方图片所示）后发现，教授的思路是先判定函数在该定义域内连续，再直接代入值求出极限。

我对此有几个困惑：

• 为什么我们不需要按照定理的要求，通过证明**极限值等于函数在点(a,b)处的函数值f(a,b)**来验证连续性，反而直接以“函数在该定义域连续”为依据代入求值？
• 如果我们没有证明连续性，怎么能直接判定它是连续的呢？
• 这是不是因为单变量函数的连续性可以直接推广到对应的多元函数上？

希望有人能帮我理清这些问题。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Oofy2000