Hey there! Let's break this down for you step by step.

首先说你的证明思路的正确性 #

你的核心逻辑是对的，但里面有个小小的笔误：你写了“pick $x_1, x_2 \in (-\delta,\delta)$, such that $f(x_1) = -1$ and $f(x_2) = -1$”，这里应该是选$x_1 > 0$（比如$x_1 = \delta/2$），此时$f(x_1)=1$，再选$x_2 < 0$（比如$x_2 = -\delta/2$），此时$f(x_2)=-1$。

修正这个笔误后，你的推导就完全没问题了：

假设$f$在$x=0$处连续，取$\epsilon=1$，根据连续性定义，存在$\delta>0$，当$x \in (-\delta, \delta)$时，$|f(x)-c| < 1$，也就是$c-1 < f(x) < c+1$。
对于$x_1=\delta/2 \in (-\delta,\delta)$，$f(x_1)=1$，代入得$c-1 < 1 < c+1$；
对于$x_2=-\delta/2 \in (-\delta,\delta)$，$f(x_2)=-1$，代入得$c-1 < -1 < c+1$。
把这两个不等式的左边和右边分别组合：从$1 < c+1$得$c>0$，从$c-1 < -1$得$c<0$，这本身就矛盾；或者像你那样计算：$1 - (-1) = 2 < (c+1)-(c-1)=2\epsilon=2$，也就是$2<2$，矛盾。

所以修正笔误后，你的方法是完全正确的，通过反证法+连续性的$\epsilon-\delta$定义推出了矛盾，证明了$f$在$x=0$处不可能连续。

更简洁的证明方法 #

如果想更直接，我们可以利用连续的等价条件或者左右极限的性质：

• 方法1：利用左右极限
  当$x \to 0^+$时，$f(x)=1$，所以$\lim_{x \to 0^+}f(x)=1$；
  当$x \to 0^-$时，$f(x)=-1$，所以$\lim_{x \to 0^-}f(x)=-1$；
  因为$\lim_{x \to 0^+}f(x) \neq \lim_{x \to 0^-}f(x)$，所以$\lim_{x \to 0}f(x)$不存在。而函数在某点连续的前提是该点极限存在且等于函数值，所以不管$c$取什么值，$f(x)$在$x=0$处都不连续。

• 方法2：利用连续的序列极限定义
  取序列$x_n = 1/n$，则$x_n \to 0$，$f(x_n)=1 \to 1$；
  再取序列$y_n = -1/n$，则$y_n \to 0$，$f(y_n)=-1 \to -1$；
  两个趋于0的序列对应的函数值极限不同，根据连续的序列刻画（函数在$x_0$连续当且仅当所有趋于$x_0$的序列${x_n}$都满足$\lim f(x_n)=f(x_0)$），可知$f(x)$在$x=0$处不连续。

这两种方法都更直接，不需要绕$\epsilon-\delta$的不等式推导，适合快速证明这类分段函数的不连续性。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Sophie Clad