嘿，这个问题问得特别到位，其实这两个定义的等价性是算子理论里很核心的一个推导点，咱们一步步拆解清楚：

首先先回顾几个算子理论的基础性质，这是推导的关键：

• 对于稠定算子T（这是本质自伴定义的前提，只有稠定算子才有伴随算子），它的闭包cl(T)的伴随算子等于原算子的伴随算子，也就是 (cl(T))* = T*，这个是伴随算子的基本性质，记住这点就打通了关键环节。
• 另外，自伴算子本身一定是闭算子，而伴随算子T*也天然是闭算子。

现在看等价性推导：

1. 从标准定义推T* = cl(T)：
   本质自伴的标准定义是「T的闭包是自伴算子」，也就是 cl(T)* = cl(T)。结合刚才的性质(cl(T))* = T*，直接就能得到 T* = cl(T)。

2. 从T* = cl(T)推标准定义：
   如果T* = cl(T)，那因为T*是闭算子，所以cl(T)也是闭算子。再结合伴随的性质，(cl(T))* = T* = cl(T)，这就满足了自伴算子的定义，所以cl(T)是自伴的，也就是T本质自伴。

你提到“能看到T*是cl(T)的扩张”，这点完全没错——对于稠定算子，cl(T) ⊆ T*是天然成立的。而当T本质自伴时，因为cl(T)是自伴的，它的伴随就是自己，再结合(cl(T))* = T*，就把这个包含关系变成了相等关系，也就解释了为什么反过来也成立。

最后补充个小延伸：本质自伴还有个常用的等价条件——T的自伴扩张是唯一的，这和T* = cl(T)也是等价的，因为当T* = cl(T)时，T*本身就是自伴算子，也就是T的唯一自伴扩张。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者El Dorado