先给大家回顾一个非齐次泊松过程的核心性质，这是我们后续推导的基础：

设${N(t), t \geq 0}$是均值函数为$m(t)$的非齐次泊松过程，当已知$N(t)=n$时，$n$个事故到达时间的无序集合，和$n$个独立同分布随机变量的分布完全一致，这些随机变量的分布函数为：
$$F_X(x) = \frac{m(x)}{m(t)}, \quad x \leq t$$

问题场景 #

现在来看这个实际问题：工人发生事故的规律服从均值函数为$m(t)$的非齐次泊松过程，每个受伤工人的缺勤时长服从分布$F$。我们用$X(t)$表示时刻$t$缺勤的工人总数，需要计算它的期望$E[X(t)]$和方差$\text{Var}(X(t))$。

期望$E[X(t)]$的推导 #

我们先从条件期望入手，把$X(t)$拆解成指示变量的和会更方便：
假设$Y_i$是第$i$个受伤工人的指示变量：
$$Y_i =
\begin{cases}
1 & \text{该工人在时刻}t\text{仍处于缺勤状态} \
0 & \text{该工人在时刻}t\text{已回到工作岗位}
\end{cases}$$
当已知$N(t)=n$（也就是时刻$t$前发生了$n$次事故）时，$X(t)$可以表示为：
$$X(t) \mid N(t)=n = \sum_{i=1}^n Y_i$$

接下来计算条件期望$E[X(t) \mid N(t)=n]$：
我们可以先对事故的具体到达时间$s_1,s_2,\dots,s_n$做条件限制，再结合前面提到的非齐次泊松过程的条件分布性质。对单个$Y_i$来说，如果它对应的事故发生在时刻$s$，那么它在$t$时刻仍缺勤的概率是$P(\text{缺勤时长} > t-s) = 1-F(t-s)$，这就是$E[Y_i \mid s]$的值。

结合“已知$N(t)=n$时，到达时间的分布函数为$\frac{m(x)}{m(t)}$”这个性质，我们可以对所有可能的到达时间取积分，再利用期望的线性性（$n$个独立同分布变量的期望是$n$倍单个变量的期望），得到：
$$E\left[X(t) \mid N(t)=n\right] = n \cdot \int_0^t (1-F(t-s)) \cdot \frac{m(s)}{m(t)} ds$$

然后用全期望公式计算无条件期望：
$$E[X(t)] = E\left[ E[X(t) \mid N(t)] \right]$$
因为$E[N(t)] = m(t)$，代入后可以约掉$m(t)$，得到：
$$E[X(t)] = \int_0^t (1-F(t-s)) m'(s) ds$$
如果做个变量替换$u = t-s$（也就是令$u$为事故发生到时刻$t$的间隔时长），式子会更直观：
$$E[X(t)] = \int_0^t (1-F(u)) m'(t-u) du$$

方差$\text{Var}(X(t))$的推导 #

计算方差我们用条件方差公式：
$$\text{Var}(X(t)) = E\left[ \text{Var}(X(t) \mid N(t)) \right] + \text{Var}\left( E[X(t) \mid N(t)] \right)$$

第一部分：$E\left[ \text{Var}(X(t) \mid N(t)) \right]$

在已知$N(t)=n$的条件下，每个$Y_i$的方差为：
$$\text{Var}(Y_i \mid s) = E[Y_i^2] - (E[Y_i])^2 = (1-F(t-s)) - (1-F(t-s))^2 = (1-F(t-s))F(t-s)$$
同样结合到达时间的条件分布，对$n$个$Y_i$求和后取期望，得到：
$$\text{Var}(X(t) \mid N(t)=n) = n \cdot \int_0^t (1-F(t-s))F(t-s) \cdot \frac{m'(s)}{m(t)} ds$$
再对$N(t)$取期望，因为$E[N(t)]=m(t)$，可以约掉分母的$m(t)$，得到：
$$E\left[ \text{Var}(X(t) \mid N(t)) \right] = \int_0^t (1-F(t-s))F(t-s) m'(s) ds$$

第二部分：$\text{Var}\left( E[X(t) \mid N(t)] \right)$

我们已经知道$E[X(t) \mid N(t)] = N(t) \cdot \int_0^t (1-F(t-s)) \cdot \frac{m'(s)}{m(t)} ds$，这里的积分项是一个与$N(t)$无关的常数，记为$C$。而泊松过程的方差$\text{Var}(N(t))=m(t)$，所以：
$$\text{Var}(C \cdot N(t)) = C^2 \cdot \text{Var}(N(t))$$
代入$C$的表达式后整理可得：
$$\text{Var}\left( E[X(t) \mid N(t)] \right) = \frac{1}{m(t)} \left( \int_0^t (1-F(t-s)) m'(s) ds \right)^2$$

合并两部分得到方差

把上面两部分加起来，就是$X(t)$的方差：
$$\text{Var}(X(t)) = \int_0^t (1-F(t-s))F(t-s) m'(s) ds + \frac{1}{m(t)} \left( \int_0^t (1-F(t-s)) m'(s) ds \right)^2$$
同样做变量替换$u=t-s$后，可以写成：
$$\text{Var}(X(t)) = \int_0^t (1-F(u))F(u) m'(t-u) du + \frac{1}{m(t)} \left( \int_0^t (1-F(u)) m'(t-u) du \right)^2$$

备注：内容来源于stack exchange，提问作者August