嘿，咱们来逐个梳理你的证明问题，先明确要分析的目标函数：
$$f(x, y) = \begin{cases}
\frac{xy^2}{x2+y^6} & \text{当 } (x, y) \neq (0, 0) \
0 & \text{当 } (x, y) = (0, 0)
\end{cases}$$

一、无界性证明的问题 #

你当前的证明逻辑有漏洞哦——你选的序列$(x_n = (\frac{r}{2}, \frac{1}{n}))$代入函数后，计算结果是：
$$f(x_n) = \frac{\frac{r}{2} \cdot (\frac{1}{n})^{2}{(\frac{r}{2})}2 + (\frac{1}{n})^6} = \frac{\frac{r}{2n^2}}{\frac{r2}{4} + \frac{1}{n^6}}$$
当$n \to \infty$时，这个值会趋近于0，根本不会趋向无穷大，没法导出矛盾。

正确的无界性证明思路 #

要证明$f|_{B_r(0)}$对任意$r>0$无界，我们需要找能让函数值趋向无穷大的点列，且这些点都落在$B_r(0)$里。

选点列$(x_k, y_k) = (y_k^3, y_k)$，其中$y_k = \min(\frac{r}{2}, \frac{1}{k})$，这样对任意$k$，$(x_k, y_k)$都在$B_r(0)$内（因为$|x_k| = y_k^3 < y_k < \frac{r}{2}$，$|y_k| < \frac{r}{2}$，该点到原点的距离小于$r$）。

代入函数计算：
$$f(x_k, y_k) = \frac{y_k^3 \cdot y_k^2}{(y_k3)^2 + y_k^6} = \frac{y_k^5}{y_k6 + y_k^6} = \frac{1}{2y_k}$$
当$k \to \infty$时，$y_k \to 0^+$，所以$f(x_k, y_k) \to +\infty$，这就说明对任意$r>0$，$f|_{B_r(0)}$里存在函数值任意大的点，因此它是无界的。

二、连续性证明的问题 #

1. 原点处不连续的证明错误 #

你选的两条路径$y=mx$和$y=x^2$，代入后极限都是0，和$f(0,0)=0$一致，根本没法证明不连续。

正确的原点不连续证明思路 #

我们需要找两条趋向原点的路径，使得函数极限和$f(0,0)$不同。

还是用刚才的点列$(y^3, y)$：当$y \to 0$时，$(y^3, y) \to (0,0)$，但$f(y^3, y) = \frac{1}{2y} \to +\infty$（当$y \to 0^+$）；或者换个路径，比如$x = ky^{3$（$k$为常数），则$f(ky}3, y) = \frac{ky^3 \cdot y^2}{k2y^6 + y^6} = \frac{k}{k^2 + 1}$，当$y \to 0$时，极限是$\frac{k}{k^2 + 1}$，比如取$k=1$时极限为$\frac{1}{2}$，和$f(0,0)=0$不同，这就说明原点处的极限不存在，因此函数在原点不连续。

2. $\mathbb{R}^2 \setminus {(0,0)}$上连续性的证明太笼统 #

你当前的描述只是说“可以证明极限等于函数值”，但没有给出严谨的依据。

正确的连续性证明思路 #

对于$\mathbb{R}^2$中任意$(a,b) \neq (0,0)$，分母$x^2 + y^{6$在$(a,b)$处的值为$a}2 + b^6 > 0$（因为$(a,b)$不是原点，$a^2$和$b6$不同时为0）。

分子$xy^{2$是二元多项式，分母$x}2 + y^{6$也是二元多项式，且多项式都是连续函数，**两个连续函数的商在分母不为0的点处也是连续函数**，因此$f(x,y)$在$(a,b)$处连续，也就是在$\mathbb{R}}2 \setminus {(0,0)}$上处处连续。

总结 #

你的整体思路方向是对的，但选点和路径的部分出现了关键错误，导致证明不成立，按照上面修正后的选点和逻辑，就能完成严谨的证明啦～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者dontaskmichi