大家好，我最近在推导一个正规算子相关的平均收敛性结论，过程中遇到了一个卡壳的点，想请各位帮忙解惑。先把问题背景和我已经完成的推导过程整理如下：

给定满足$|T| \leq 1$的正规算子$T\in\mathcal{L}(H)$，设$M\subseteq H$是闭子空间，定义为$M={x\in H \mid T(x)=x}$，$P$是$M$上的正交投影。需要证明：对任意$x\in H$，有
$$\lim_{n\to\infty}\left|\left|P(x)-\dfrac{x+T(x)+T^2(x)+\dots+Tn(x)}{n+1}\right|\right|=0$$

我的推导进展 #

1. 设$Q$是$M^\perp$上的正交投影，根据线性性，只需证明当$x\in M^\perp$时结论成立，也就是要证：
   $$\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{x+T(x)+T^2(x)+\dots+Tn(x)}{n+1}\right|=0$$
2. 由于$T$是正规算子，利用谱定理可知，存在定义在$\mathcal{B}{\sigma(T)}$上的唯一谱测度$E$，使得
   $$T=\int{\sigma(T)}{z,dE(z)}$$
   并且对任意$n\in\mathbb{N}$，$T^n$也是正规算子，满足
   $$T^{n=\int_{\sigma(T)}{z}n,dE(z)}$$
3. 定义函数$f_n:\sigma(T)\to\mathbb{C}$为：
   $$f_n(z)=\dfrac{1+z+z^2+\dots+zn}{n+1}$$
   由此可以得到：
   $$\dfrac{x+T(x)+T^2(x)+\dots+Tn(x)}{n+1}=\left(\int_{\sigma(T)}{f_n(z),dE(z)}\right)(x)$$
   记$S_n=\int_{\sigma(T)}{f_n(z),dE(z)}$，则有
   $$S_n^*\circ S_n=\int_{\sigma(T)}{|f_n(z)|^2,dE(z)}$$
4. 对任意$y\in H$，有$\langle S_n(x),y\rangle=\int_{\sigma(T)}{f_n(z),dE_{x,y}(z)}$，取$y=S_n(x)$代入后可得：
   $$|S_n(x)|^2=\langle S_n(x),S_n(x)\rangle=\langle S_n^{*(S_n(x)),x\rangle=\int_{\sigma(T)}{|f_n(z)|}2,dE_{x,x}(z)}$$
   这里的$E_{x,x}$是一个有限正测度。

已验证的结论与卡住的点 #

我已经确认：

• $f_n$在$\sigma(T)$上逐点收敛到特征函数$\chi_{{1}}$；
• $|f_n|\leq1$在$\sigma(T)$上恒成立。

根据控制收敛定理，可以推出：
$$\lim_{n\to\infty}{|S_n(x)|^2}=E_{x,x}(\sigma(T)\cap{1})=\langle E(\sigma(T)\cap{1})(x),x\rangle$$

如果$1\notin\sigma(T)$，显然$E_{x,x}(\sigma(T)\cap{1})=E_{x,x}(\varnothing)=0$，这部分没问题。但当$1\in\sigma(T)$时，我不知道该如何证明$E_{x,x}({1})=0$，这一步的推导思路是什么呢？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Raúl Filigrana Villalba