问题背景 #

我现在需要解决以下有限群相关的问题：
设$H$和$P$是有限群$G$的子群，需要完成：

• 证明集合$HxP$（$x\in G$）构成$G$的划分；
• 通过考虑$H$在$G$关于$P$的左陪集集合上的左乘作用（或其他方法），证明对任意$x\in G$，有
  $$\frac{|HxP|}{|P|} = \frac{|H|}{|H \cap xPx^{-1}|}$$
• 由此推出：若$G$有Sylow $p$-子群，则$H$也有Sylow $p$-子群。

我的进展与困惑 #

我已经通过轨道-稳定子定理和构造合适的同态，成功证明了上述等式，但卡在最后一步的推导上。更让我疑惑的是，我甚至怀疑这个结论本身是否正确——举个例子：15阶循环群$C_{15}$有一个5阶子群，$C_{15}$本身存在Sylow 3-子群（3阶），但这个5阶子群的阶是5，3并不整除5，显然不可能有Sylow 3-子群。

我是不是对问题的某个部分理解错了？希望有人能帮我澄清这个矛盾点，并解释最后一步的推导过程。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Maths Wizzard