嘿，我来帮你搞定这个正向证明的部分！你已经顺利完成了反向推导，现在咱们来解决从$||Tx||=||x||$对所有$x\in H$成立推出$T^*T=Id$这一步，正好要用到题目给的极化恒等式，咱们一步步来：

首先，先明确一个小技巧：在希尔伯特空间里，要证明两个有界线性算子相等，最常用的方法就是证明它们对任意向量对的内积都相等。具体到这里，我们要证$T^*T=Id$，其实就是要证对任意$x,y\in H$，都有$(T^*T x,y)=(x,y)$，也就是$((T^*T - Id)x,y)=0$对所有$x,y$成立。

先从已知条件入手：因为对所有$x$都有$||Tx||=||x||$，两边平方一下，就得到$||Tx||^2=||x||2$。而根据内积和范数的关系，$||Tx||^{2=(Tx,Tx)$，再结合伴随算子的定义——$(Tx,Ty)=(x,T}*Ty)$，这里取$y=x$的话，就有$(Tx,Tx)=(T^*T x,x)$，而$||x||^2=(x,x)$，所以我们能得到：
$$(T^*T x,x)=(x,x) \quad \forall x\in H$$
把右边移到左边，就是$((T^*T - Id)x,x)=0$对所有$x$成立。我们记$S=T^*T - Id$，那现在就知道$(Sx,x)=0$对所有$x\in H$，但这还不够直接推出$S$是零算子，这时候极化恒等式就派上用场了！

回忆一下题目给的复极化恒等式：
$$(x,y)=\frac{1}{4}\left(||x+y||^2+i||x+iy||2-||x-y||^2-i||x-iy||2\right)$$
这个恒等式的核心是把任意两个向量的内积转化为单个向量的范数平方，那我们可以把这个思路用到算子$S$的内积上。对于任意$x,y\in H$，$(Sx,y)$也可以用同样的方式展开：
$$(Sx,y)=\frac{1}{4}\left((S(x+y),x+y)+i(S(x+iy),x+iy)-(S(x-y),x-y)-i(S(x-iy),x-iy)\right)$$
你看，右边的每一项都是$(Sz,z)$的形式，而我们已经知道对任意$z$，$(Sz,z)=0$，所以右边这四项加起来就是0！也就是说，$(Sx,y)=0$对所有$x,y\in H$都成立。

最后一步就简单了：如果对所有$x,y$都有$(Sx,y)=0$，那我们取$y=Sx$，就得到$||Sx||^2=(Sx,Sx)=0$，这说明$Sx=0$对所有$x\in H$都成立，也就是$S=T^*T - Id=0$，所以$T^*T=Id$，正向的证明就完成啦！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者lvo0224