首先帮你理清那个维基百科的小问题——你完全没错，Brian Hall的《Lie Groups, Lie Algebras, and Representations》里的Exercise 6.8确实是针对$\mathfrak{sl}_2$的，这明显是维基百科的引用标错了，大概率是指第七章（$\mathfrak{sl}_3$相关内容）里的习题，比如Exercise 7.8或者邻近的题目。不过先放下这个，我们来解决你核心的几个疑问：

为什么$S_n = \text{Sym}^n(\mathbb{C}3)$是$\mathfrak{sl}_3$的表示？ #

$\mathfrak{sl}_3$是3阶迹零复矩阵构成的李代数，它首先自然作用在$\mathbb{C}^3$上（就是普通的矩阵乘法）。而对称幂空间$S_n$的李代数作用是通过导子作用定义的：对于任意$X \in \mathfrak{sl}3$和多项式$p \in S_n$，我们定义：
$$X \cdot p(v) = \frac{d}{dt}\bigg|{t=0} p(e^{tX}v)$$
对于多项式来说，这个作用可以展开成你已经用到的Leibniz法则形式，比如$H_1(x^2) = H_1(x)x + xH_1(x)$，本质上就是这个导子作用的具体计算。

更关键的是，这个作用满足李代数表示的核心要求：对于任意$X,Y \in \mathfrak{sl}_3$，有$[X,Y] \cdot p = X \cdot (Y \cdot p) - Y \cdot (X \cdot p)$，这一点可以通过导子的性质直接验证。所以$S_n$确实是$\mathfrak{sl}_3$的一个表示。

怎么证明它是不可约表示？以及维基百科的(0,m)最高权说法怎么对应？ #

这里需要先明确$\mathfrak{sl}_3$的权标记规则，不同教材的记号容易混淆：

$\mathfrak{sl}_3$的Cartan子代数$\mathfrak{h}$由你提到的$H_1, H_2$张成，我们通常用基本支配权$\omega_1, \omega_2$来标记最高权，其中：

• $\omega_1(H_1)=1, \omega_1(H_2)=0$（对应$\mathbb{C}^3$的最高权）
• $\omega_2(H_1)=0, \omega_2(H_2)=1$（对应$\mathbb{C}^{{3*}$，也就是$\mathbb{C}}3$的对偶空间的最高权）

维基百科里说的最高权$(0,m)$，其实就是$m\omega_2$——也就是$\text{Sym}^m(\mathbb{C}{3*})$的最高权，而$\text{Sym}^m(\mathbb{C}{3*})$恰好就是三个复变量的$m$次齐次多项式空间（把$\mathbb{C}^{3*}$的基元看作多项式变量即可）。

为什么$\text{Sym}^m(\mathbb{C}{3*})$是不可约的？ #

我们可以用复半单李代数的最高权定理来判断：一个表示不可约当且仅当它由唯一的最高权向量生成，且所有权都可以通过最高权减去正根的线性组合得到。

对于$\text{Sym}^m(\mathbb{C}{3*})$：

1. 最高权向量：取单项式$(y^*)m$（这里$y^{*$是$\mathbb{C}}{3*}$中对应$y$的对偶基元），所有正根对应的根向量（比如$E_{12}, E_{23}$）作用在它上面都会得到0，它的权就是$m\omega_2=(0,m)$。
2. 权的生成：所有其他权都是$m\omega_2$减去正根的非负整数组合，对应的单项式都可以通过负根向量作用在最高权向量上得到，整个空间没有非平凡的子表示（因为任何子表示都必须包含最高权向量，进而生成整个空间）。

所以$\text{Sym}^m(\mathbb{C}{3*})$确实是最高权为$(0,m)$的不可约表示。

补充：你提到的$S_n = \text{Sym}^n(\mathbb{C}3)$对应的最高权是什么？ #

它对应的最高权是$m\omega_1=(m,0)$，和$(0,m)$是对偶的关系——$\text{Sym}^n(\mathbb{C}3)$的最高权向量是$x^n$，你可以自己验证：正根向量$E_{12}, E_{13}$作用在$x^{n$上都会得到0，而$H_1$作用在$x}n$上的特征值是$n$，$H_2$作用的特征值是0，正好对应$(m,0)$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Boots