这确实是个容易让人困惑的问题——按道理来说，一个理想是否是单位理想（即Groebner基为{1}）应该和单项式序无关，因为这等价于方程组有没有解，而解的存在性是代数性质，和计算时用的单项式排序没关系。那为什么你用Sage计算会出现这种差异呢？

问题的根源出在你使用的域CC上：这是Sage里的浮点数复数域，基于MPFR实现，本质是近似计算，有精度限制。Groebner基的计算涉及大量多项式运算，不同的单项式序会改变运算的顺序和步骤，数值误差在不同路径下积累的方式不一样，就可能导致其中一种序下的计算出现错误，误判理想为单位理想。

先从代数角度验证一下这个方程组的可解性：

• 由a³=1和a²+ab+b²=0，注意到a²+ab+b²=(a³ - b³)/(a - b)（当a≠b时），结合a³=1，可得b³=1，且a是b的三次本原单位根倍数（比如a=ωb，其中ω=(-1+√3i)/2，满足ω³=1且ω≠1）。
• 同理，b²+bd+d²=0推出d=ωb或ω²b；c²+cd+d²=0推出c=ωd或ω²d；c²+ce+e²=0推出e=ωc或ω²c。
• 我们可以构造一个具体解：取b=1，a=ω，d=ω，c=ω²，e=ω，代入所有方程都能满足，说明方程组确实有解，理想不可能是单位理想。

那怎么解决这个问题？改用Sage里的精确代数闭域QQbar来计算，它能精确表示代数数，不会有浮点数误差。修改你的代码如下：

R.<a, b, c, d, e> = PolynomialRing(QQbar, 5, order='negdeglex')
I = ideal(a^3 - 1, b^3 - 1, c^3 - 1, d^3 - 1, e^3 - 1,
          a^2 + a*b + b^2, b^2 + b*d + d^2,
          c^2 + c*d + d^2, c^2 + c*e + e^2)
I.groebner_basis()

不管你用negdeglex还是negdegrevlex，运行这段代码都会得到非{1}的Groebner基，和方程组有解的结论一致。

总结一下：当你需要精确计算代数对象（比如Groebner基）时，一定要避免用浮点数域，改用精确的代数域（比如QQbar、QQ或者有限域），否则数值误差会干扰计算结果，出现和理论矛盾的情况。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者johnyy