我最近在琢磨攀岩者坠落时会受到多大的力，一开始我的思路是这样的：

攀岩者在高度$h$处拥有重力势能$E_p$，公式为$E_p = mgh$，其中$m$是攀岩者的质量，$g$是重力加速度。我当时觉得，这部分势能会先转化为动能，最终全部变为绳索缓冲时做的功。假设能量转化是100%高效的，那其实可以跳过动能的环节，直接把势能和做功划等号，也就是$E_w = E_p$。

做功的公式是力$F$乘以作用距离，这里的距离应该是绳索被坠落者拉长的长度$d$，于是得到：
$$Fd = mgh$$
或者写成：
$$F = \frac{mgh}{d} \tag{1}$$

我对这个公式做了合理性验证，感觉是对的：

• 绳索拉伸长度$d$越大，受力$F$越小，符合缓冲的逻辑
• 攀岩者质量$m$越大，受力$F$越大，符合直觉
• 坠落高度$h$越高，受力$F$越大，也说得通

但问题来了：我上网查绳索拉伸的参考值时，发现拉伸量都是按百分比给出的——这意味着绳索本身越长，它能拉伸的绝对长度$d$就越大。而如果坠落高度$h$越高，需要的绳索长度自然也越长，是不是可以推出$h$和$d$成正比？假设比例常数是$k$，那就能得到：
$$d = kh \tag{2}$$

把(2)代入(1)之后，公式就变成了：
$$F = \frac{mgh}{kh}$$
化简后居然是：
$$F = \frac{mg}{k}\tag{3}$$

我再对这个结果做合理性验证：

• $k$越大（绳索拉伸比例越高），受力$F$越小，没问题
• 攀岩者质量$m$越大，受力$F$越大，也没问题
• 可奇怪的是，坠落高度$h$居然完全从公式里消失了？这岂不是说，从$1\cdot10^{-3}$米坠落的人和从100米坠落的人，受到的力是一样的？这显然和我的直觉不符，我到底哪里想错了？求解答！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者James