嘿，竞赛里遇到这种条件极值问题，求导确实太费时间了！我给你推荐个超高效的方法——均值不等式（AM-GM不等式），几步就能出结果，完全不用搞复杂的微分操作。

先理清楚已知条件和目标：我们有约束$4x + 6y = 28$（$x,y>0$），要最大化$x^4y3$。

步骤1：调整约束条件，适配目标式的指数 #

首先把约束条件简化一下，两边除以2得到：$2x + 3y = 14$，不过更关键的是，我们要把约束拆成和目标式指数对应的项——目标式里$x$的指数是4，$y$的指数是3，那我们可以把$4x$拆成4个$x$相加，把$6y$拆成3个$2y$相加，这样总共就有$4+3=7$个正数项，它们的和刚好是$4x+6y=28$。

步骤2：应用均值不等式 #

均值不等式的核心是：对于$n$个正数$a_1,a_2,...,a_n$，有

$\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1a_2...a_n}$
等号成立当且仅当所有$a_i$相等。

把我们拆分的7个项代入：
$\frac{x+x+x+x+2y+2y+2y}{7} \geq \sqrt[7]{x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot 2y \cdot 2y \cdot 2y}$

左边计算结果是$\frac{28}{7}=4$，右边化简后是$\sqrt[7]{8x^4y3}$。

步骤3：推导最大值 #

把不等式两边同时7次方：
$4^7 \geq 8x^4y3$

计算$4^7=16384$，所以：
$x^4y3 \leq \frac{16384}{8}=2048$

步骤4：验证等号成立条件 #

均值不等式取等号时，所有拆分的项相等，也就是$x=2y$。把这个关系代入约束条件$4x+6y=28$：
$4\times2y +6y=14y=28$，解得$y=2$，进而$x=4$。

代入目标式验证：$4^4\times23=256\times8=2048$，完全符合我们算出的最大值。

这种方法在竞赛里特别实用，比求导省了超多时间，而且逻辑清晰不容易出错~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ganit