原题回顾 #

当正整数$n$除以45时，余数是18。以下哪个选项一定是$n$的约数？

• a) 11
• b) 9（正确选项）
• c) 7
• d) 6
• e) 4

原解答给出的核心表达式是：

n = 45k + 18

其中$k$是非负整数。你提到的困惑点是这句*“Every common divisor of 45 and 18 is also a divisor of any sum of multiples of 45 and 18, like 45k+18”*，以及整体的推理逻辑，我来给你一步步拆解清楚：

第一步：理解余数表达式的含义 #

$n = 45k + 18$ 其实就是在说：$n$是45的某个倍数再加上18。比如：

• 当$k=0$时，$n=18$（18除以45商0余18，符合条件）
• 当$k=1$时，$n=45+18=63$（63除以45商1余18，符合条件）
• 当$k=2$时，$n=90+18=108$（108除以45商2余18，符合条件）

这些都是满足题目要求的$n$，我们可以用这些具体数值辅助理解。

第二步：拆解关键的公约数性质 #

先明确什么是公约数：如果一个数$d$能同时整除45和18，那$d$就是45和18的公约数。我们分解质因数看看：

• 45 = 3×3×5
• 18 = 2×3×3
  所以它们的公约数是1、3、9。

现在来看那个关键结论：“公约数$d$能整除45和18的任何倍数之和”，用大白话讲就是：

1. 因为$d$能整除45，所以45的任何倍数（比如45k）也一定能被$d$整除——毕竟45是$d$的倍数，乘以k之后还是$d$的倍数。
2. 同理，$d$能整除18，所以18本身就是$d$的倍数。
3. 两个都是$d$倍数的数相加，结果肯定还是$d$的倍数！比如$d=9$：
   • 45k = 9×5k（是9的倍数）
   • 18 = 9×2（是9的倍数）
   • 加起来就是9×5k + 9×2 = 9×(5k+2)，这明显是9的倍数，所以$n$一定能被9整除。

第三步：验证为什么其他选项不对 #

我们用具体的$n$值来排除错误选项：

• 选项a（11）：当$k=0$时，$n=18$，18不能被11整除，排除；
• 选项c（7）：同样$n=18$，18不能被7整除，排除；
• 选项d（6）：当$k=1$时，$n=63$，63÷6=10.5，不是整数，排除；
• 选项e（4）：$n=18$时，18÷4=4.5，不是整数，排除；
  只有选项b（9），不管$k$取什么非负整数，$n=9×(5k+2)$，括号里是整数，所以$n$一定是9的倍数。

总结一下核心逻辑 #

如果$d$是两个数$a$和$b$的公约数，那么$d$一定能整除$a$的任意倍数与$b$的任意倍数之和（也就是$ax + by$，其中$x$、$y$是整数）。在这道题里，$a=45$，$b=18$，$x=k$，$y=1$，所以它们的公约数9必然是$n$的约数。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者YOONES MAHDIAN