最近我在研究把带积分型余项的泰勒定理推广到整个实直线上的情况，先给大家梳理一下有界区间上的已知结论：

设$k\in\mathbb{N}$，函数$f$满足：$f^{{(i)}$（$i=0,1,...,k-1$）在有界区间$\mathbb{I}\subset\mathbb{R}$上连续可微，且$f}{(k)}$在$\mathbb{I}$上绝对连续。

根据带积分型余项的泰勒定理，此时对任意$x\in\mathbb{I}$，有：
$$
f(x)=f(0)+f'(0)x+\dots+\frac{1}{k!}f^{(k)}(0)xk+ R_k(x)
$$
其中余项$R_k(x)$有两种等价的积分形式：
$$
R_k(x) = \frac{1}{k!} \int_0^x (x-t)^k f^{(k+1)}(t) , dt
= \frac{x^k}{k!} \int_0^1 (1-s)^k f^{(k+1)}(xs) , ds.
$$
这个结论可以通过多次分部积分来证明，过程不算复杂。

现在我卡在了一个点上：如果把区间换成整个实直线$\mathbb{R}$，这个泰勒展开还能对所有$x\in\mathbb{R}$成立吗？

我试着分析余项$R_k(x)$的绝对值，得到了这样的估计：
$$
|R_k(x)| = \left|\frac{1}{k!} \int_0^x (x-t)^k f^{(k+1)}(t), dt\right| \leq \frac{1}{k!}\int_0^x |x-t|^k|f{(k+1)}(t)|, dt
$$
这说明要让$R_k(x)$有定义（也就是积分收敛），必须保证对所有$x\in\mathbb{R}$，$\int_0^x |x-t|^k|f{(k+1)}(t)|, dt<\infty$。在有界区间上时，绝对连续性就能保证这个积分有限——比如假设$0 \leq x\leq c < \infty$，我们可以做这样的估计：
$$
\int_0^x |x-t|^k|f{(k+1)}(t)|, dt \leq \int_0^c |c-t|^k|f{(k+1)}(t)|, dt \leq|c|^k\int_0c |f^{(k+1)}(t)|, dt<\infty,
$$
但当$x$趋向于正无穷或者负无穷时，这个估计就失效了，所以肯定需要给$f$加上额外的条件。

目前我已经明确的前提条件是：$f^{{(i)}$（$i=0,1,...,k-1$）在$\mathbb{R}$上连续可微，$f}{(k+1)}$在弱意义下存在且属于$L^1(\mathbb{R})$。

我想请教的问题是：除了这些前提之外，还需要给$f$加上哪些明确的条件，才能让带积分型余项的泰勒定理对所有$x\in\mathbb{R}$都成立？

我的直觉告诉我，可能是我忽略了$f$各阶导数在无穷远处的衰减性质——说不定这些导数需要趋向于0，而不只是有界？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者ChocolateRain