问题背景 #

已知 $f'(x) = \frac{e^{3x} g(x)}{x}$，其中 $g(x) = 1 + 3x\ln(x)$，需要完成以下两个任务：

• a) 分析 $g(x)$ 的单调性并证明它恰好有两个根
• b) 证明 $f(x)$ 恰好有两个局部极值

你已经成功完成了a部分的推导：$g(x)$ 在 $(0, e^{-1}]$ 上单调递减，在 $[e^{-1}, +\infty)$ 上单调递增；并通过在区间 $[\frac{1}{5}, e^{-1}]$ 和 $[e^{-1}, 1]$ 应用介值定理，结合单调性证明了 $g(x)$ 恰好有两个根。现在困惑于如何在不知道 $g(x)$ 根的具体值的情况下证明b部分的结论。

解答b部分：证明f(x)恰好有两个局部极值 #

其实不用纠结根的具体数值，咱们可以通过关联$f'(x)$的符号变化与$g(x)$的已知性质来推导：

1. 先明确$f'(x)$的定义域与零点条件
   $f'(x)$ 的定义域是 $(0, +\infty)$（因为分母$x$不能为0，且$\ln(x)$要求$x>0$）。在这个定义域内：

   • $e^{3x}$ 始终大于0（指数函数的固有性质）
   • $x>0$，所以 $\frac{e^{3x}}{x}$ 整体恒为正

   因此，$f'(x)=0$ 的充要条件就是 $g(x)=0$——也就是说，$f'(x)$ 的零点完全等价于 $g(x)$ 的零点，而你已经证明了 $g(x)$ 恰好有两个正根，设为 $x_1$ 和 $x_2$，且满足 $0 < x_1 < e^{-1} < x_2$。

2. 分析$f'(x)$在零点附近的符号变化
   因为 $\frac{e^{3x}}{x} > 0$，所以 $f'(x)$ 的符号和 $g(x)$ 的符号完全一致，结合你已经得出的$g(x)$单调性：

   • 对于根$x_1$（位于$(0, e^{-1}]$）：
     • 当 $0 < x < x_1$ 时，$g(x)$ 在$(0,e^{-1})$递减，且$g(x_1)=0$，所以$g(x) > 0$，对应$f'(x) > 0$
     • 当 $x_1 < x < e^{-1}$ 时，$g(x) < 0$，对应$f'(x) < 0$
     • 因此$f'(x)$在$x_1$处由正变负，$x_1$是$f(x)$的局部极大值点
   • 对于根$x_2$（位于$[e^{-1}, +\infty)$）：
     • 当 $e^{-1} < x < x_2$ 时，$g(x)$在$[e^{-1},+\infty)$递增，且$g(x_2)=0$，所以$g(x) < 0$，对应$f'(x) < 0$
     • 当 $x > x_2$ 时，$g(x) > 0$，对应$f'(x) > 0$
     • 因此$f'(x)$在$x_2$处由负变正，$x_2$是$f(x)$的局部极小值点

3. 排除其他可能的极值点
   在定义域$(0,+\infty)$内，$\frac{e^{3x}g(x)}{x}$ 处处可导（没有不可导点），所以不存在其他可能的极值点。

综上，$f(x)$恰好有两个局部极值点，对应$g(x)$的两个根，因此$f(x)$恰好有两个局部极值。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1171376