嗨，我来帮你把这个推导步骤理清楚，核心其实就是乘积求导法则的反向应用，咱们一步步拆解：

首先先补全一个小细节：当你把原方程两边乘以积分因子 (I(x)=e^{x3}) 之后，左边的式子应该是：
$$e^{x3}\frac{dy}{dx} + 3x^2 e^{x3} y = 6x^2 e^{x3}$$
你之前写的左边第二项漏了 (e^{x3})，这是个小笔误，也是理解这个推导的关键哦！

接下来回忆一下咱们学过的乘积求导法则：对于两个关于x的函数 (u(x)) 和 (v(x))，它们乘积的导数满足：
$$\frac{d}{dx}\left(u(x)v(x)\right) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$$

现在咱们把这个法则反过来用：

• 令 (u(x)=e^{x3})，对它求导（用链式法则）：(u'(x)=\frac{d}{dx}(e^{x3})=3x^2 e^{x3})
• 令 (v(x)=y(x))，它的导数就是 (v'(x)=\frac{dy}{dx})

把这两个代入乘积求导法则的右边，得到：
$$u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 3x^2 e^{x3} y + e^{x3}\frac{dy}{dx}$$
你看，这正好就是咱们乘完积分因子之后的左边式子！

所以反过来，左边的式子就可以直接写成乘积的导数形式：
$$e^{x3}\frac{dy}{dx} + 3x^2 e^{x3} y = \frac{d}{dx}\left(e^{x3} y\right)$$

本质上，积分因子的作用就是专门设计出来让方程左边刚好凑成某个乘积的导数，这样接下来就可以两边直接积分求解y了，是不是一下子就明白啦？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Jacob Avenaim