先给大家明确一下问题的背景定义：
设 $H = {A \in M_{2\times 2}(\mathbb{C}) \ | \ A = A^\dagger := \overline{A}^t }$，这是所有2×2复埃尔米特矩阵构成的实向量空间。

(a) 证明：对任意 $A \in H$，$\text{det}(A)$ 是实值的 #

我目前的思路是：埃尔米特矩阵的特征值都是实值的，而矩阵的行列式等于所有特征值的乘积，既然每个因子都是实数，那行列式自然也是实值的，这个思路应该没问题吧？

(b) 证明 $Q:H \to \mathbb{R}$（其中 $Q(A) = \text{det}(A)$）是二次型，并计算其相伴双线性型 $S_Q$ 的符号差 #

不过到这部分我就卡壳了，不知道该怎么着手分析这个二次型，有没有大佬能给我个提示呀？

另外，这里附上一个相关的矩阵：

\left(
\begin{array}{rrrr}
0 & 1/2 & 0 & 0 \\
1/2 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 \\
\end{array}
\right)

(c) 求 $U = {A \in H : \text{Tr}(A) = 0 }$ 关于 $S_Q$ 的正交补 $U^\perp$ #

(d) 计算限制在 $U \times U$ 上的双线性型 $(S_Q)|_{U \times U} : U \times U \to \mathbb{R}$ 的符号差 #

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1177059