嗨，我来帮你找找第一种解法里的问题！先把你的思路和问题理清楚：

问题回顾 #

一根长度为20米的铁丝要剪成两段，一段做成正方形，另一段做成正六边形。求当正方形和正六边形的总面积最小时，正六边形的边长（单位：米）是多少？

你的第一种思路与错误点分析 #

你设用x长度的铁丝做正方形，剩余20-x做正六边形周长，总面积的表达式是完全正确的：
$$\text{总面积} = \left(\frac{x}{4}\right)^2 + \frac{3\sqrt{3}}{2} \left(\frac{20-x}{6}\right)^2$$

问题出在求导的计算过程里！我们一步步重新计算导数，你就能发现哪里错了：

1. 对第一项$\left(\frac{x}{4}\right)^2$求导：
   $$\frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{16}\right) = \frac{2x}{16} = \frac{x}{8}$$

2. 对第二项$\frac{3\sqrt{3}}{2} \left(\frac{20-x}{6}\right)^2$求导：
   先化简该项：$\frac{3\sqrt{3}}{2} \times \frac{(20-x)^2}{36} = \frac{\sqrt{3}}{24}(20-x)^2$
   用链式法则求导：$\frac{\sqrt{3}}{24} \times 2(20-x) \times (-1) = -\frac{\sqrt{3}}{12}(20-x)$

现在令导数等于0，得到方程：
$$\frac{x}{8} - \frac{\sqrt{3}}{12}(20-x) = 0$$

接下来解这个方程：
两边同时乘以24（8和12的最小公倍数）消去分母：
$$3x - 2\sqrt{3}(20-x) = 0$$
展开整理：
$$3x - 40\sqrt{3} + 2\sqrt{3}x = 0$$
$$x(3 + 2\sqrt{3}) = 40\sqrt{3}$$
最终得到：
$$x = \frac{40\sqrt{3}}{3 + 2\sqrt{3}}$$

把这个正确的x代入正六边形边长公式$\frac{20-x}{6}$：
$$20 - x = 20 - \frac{40\sqrt{3}}{3 + 2\sqrt{3}} = \frac{60 + 40\sqrt{3} - 40\sqrt{3}}{3 + 2\sqrt{3}} = \frac{60}{3 + 2\sqrt{3}}$$
$$\text{正六边形边长} = \frac{60}{6(3 + 2\sqrt{3})} = \frac{10}{3 + 2\sqrt{3}}$$

这就和你第二种方法得到的正确结果完全一致了！

错误根源 #

你之前应该是在处理第二项的链式法则时符号出错，或者后续代数运算中出现了计算失误，才得到了负数的x值。只要仔细重新推导求导和方程求解步骤，就能得到正确结果啦~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Blank