嘿，我来帮你把这个问题彻底搞明白！你的思路已经找对了方向，咱们一步步往下推：

第一步：先算出AC的长度（这步真的有用！） #

在△ABC里，用余弦定理就能轻松算出AC：
$$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos\angle ABC$$
代入数值：
$$AC^2 = 9^2 + 10^2 - 2\times9\times10\times\cos60^\circ = 81 + 100 - 90 = 91$$
所以 $AC = \sqrt{91}$。

第二步：确定底面四边形的四边长度 #

你已经知道ABCD是圆内接四边形，且因为所有二面角相等，它还是内切圆四边形（也就是双心四边形）。双心四边形有个关键性质：对边之和相等（Pitot定理），也就是：
$$AB + CD = BC + DA$$
设$CD = x$，$DA = y$，代入已知的AB=9、BC=10，得到：
$$9 + x = 10 + y \implies x = y + 1$$

另外，在△ADC中，∠ADC=120°（圆内接四边形对角和180°），再用一次余弦定理：
$$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2\cdot AD\cdot CD\cdot \cos\angle ADC$$
代入AC²=91、∠ADC=120°（$\cos120^\circ=-0.5$）和$x=y+1$：
$$91 = y^2 + (y+1)^2 - 2\cdot y\cdot (y+1)\cdot(-0.5)$$
展开化简后得到：
$$3y^2 + 3y - 90 = 0 \implies y^2 + y - 30 = 0$$
解这个一元二次方程，取正根得$y=5$，所以$x=6$。现在底面四边长度就全了：AB=9，BC=10，CD=6，DA=5。

第三步：求底面四边形的内切圆半径r #

双心四边形的面积有两种计算方式：

1. 用婆罗摩笈多公式（圆内接四边形面积公式）：$S = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$，其中$p$是半周长
2. 用内切圆四边形面积公式：$S = r\cdot p$，其中$r$是内切圆半径

先算半周长$p$：
$$p = \frac{9+10+6+5}{2} = 15$$
再用婆罗摩笈多公式算面积$S$：
$$S = \sqrt{(15-9)(15-10)(15-6)(15-5)} = \sqrt{6\times5\times9\times10} = 30\sqrt{3}$$
结合$S=r\cdot p$，就能算出$r$：
$$30\sqrt{3} = r\times15 \implies r = 2\sqrt{3}$$

第四步：计算棱锥的高h #

因为所有二面角都是60°，咱们看二面角的平面角：从内切圆圆心O（也就是顶点M在底面的投影）向任意一条边作垂线，垂足为E，连接ME，那么∠MEO就是二面角的平面角（因为ME⊥边，OE⊥边，所以这个角就是侧面和底面的夹角）。

在Rt△MOE中，$\tan\angle MEO = \frac{h}{r}$，已知∠MEO=60°，$\tan60^\circ=\sqrt{3}$，代入r的值：
$$h = r\times\tan60^\circ = 2\sqrt{3}\times\sqrt{3} = 6$$

所以这个棱锥的高就是6啦！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者VictORIGINAL