嗨，我来给你拆解这个问题，核心其实是多元函数链式法则的本质——它的加法结构不是凭空出现的，而是从导数的定义和多元函数的可微性推导出来的，跟$f$的具体形式无关，咱们一步步理清楚：

首先，回到导数的本质：当我们求$\frac{dy}{dc}$时，其实是在看当$c$有一个微小增量$\Delta c$时，$y$的增量$\Delta y$与$\Delta c$的比值在$\Delta c \to 0$时的极限。

对于$y=f(a(c),b(c),c)$，当$c$变化$\Delta c$时，会带来三个变化：

• $a(c)$会产生一个微小增量$\Delta a \approx \frac{\partial a}{\partial c}\Delta c$（这是一元函数的线性近似）
• $b(c)$会产生一个微小增量$\Delta b \approx \frac{\partial b}{\partial c}\Delta c$
• $c$本身也有增量$\Delta c$

而对于可微的多元函数$f$，它的增量$\Delta f$可以用一阶泰勒展开（线性近似）来表示：
$$
\Delta f \approx \frac{\partial f}{\partial a}\Delta a + \frac{\partial f}{\partial b}\Delta b + \frac{\partial f}{\partial c}\Delta c
$$
这里的关键是：偏导数$\frac{\partial f}{\partial a}$的定义就是固定$b$和$c$不变时，$f$随$a$的变化率，所以$a$变化$\Delta a$给$f$带来的增量就是$\frac{\partial f}{\partial a}\Delta a$；同理，$b$和$c$的变化带来的增量也可以单独计算。因为我们讨论的是微小增量，这些单独的贡献可以直接线性叠加（高阶无穷小项会在取极限时消失）。

接下来把$\Delta a$和$\Delta b$用$c$的增量替换进去：
$$
\Delta f \approx \frac{\partial f}{\partial a}\cdot\frac{\partial a}{\partial c}\Delta c + \frac{\partial f}{\partial b}\cdot\frac{\partial b}{\partial c}\Delta c + \frac{\partial f}{\partial c}\Delta c
$$
两边同时除以$\Delta c$，再取$\Delta c \to 0$的极限，就得到了你看到的链式法则形式：
$$
\frac{\partial y}{\partial c}=\frac{\partial f}{\partial a}\frac{\partial a}{\partial c}+\frac{\partial f}{\partial b}\frac{\partial b}{\partial c}+\frac{\partial f}{\partial c}
$$

为什么不是你说的一般函数$g$的形式？ #

因为我们求的是一阶导数，也就是函数变化率的线性近似系数。线性运算的本质就是加法和数乘的组合——只要$f$是可微的，它的一阶增量就必然是各个偏导数与对应自变量增量的线性叠加，这是多元函数可微性的定义：一个多元函数可微，当且仅当它的增量可以表示为这种线性组合，再加上一个比自变量增量的模长高阶的无穷小。

不管$f$是乘积、指数、三角函数还是它们的复杂组合，只要满足可微条件，这个加法结构就不会变。比如：

• 若$f(a,b,c)=ab+c^2$，则$\frac{dy}{dc}=b\cdot\frac{da}{dc}+a\cdot\frac{db}{dc}+2c$，符合加法结构
• 若$f(a,b,c)=e^{a+b}+\sin c$，则$\frac{dy}{dc}=e^{{a+b}\cdot\frac{da}{dc}+e}{a+b}\cdot\frac{db}{dc}+\cos c$，依然是加法形式

简单来说：这个加法结构来自可微多元函数一阶变化的叠加性，偏导数的定义决定了每个变量的变化对整体的贡献可以线性相加，跟$f$的具体形式无关。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Kwame Brown