嘿，我看了你的求解过程，发现有个关键错误哦😉

先来说说问题出在哪：当你从 (2x+t)dx = (x+2t-6)dt 直接两边积分时，这里的t是自变量，x是t的函数，两者都不是常数，所以不能把左边的t当作常数对x积分，也不能把右边的x当作常数对t积分，这一步的积分逻辑完全不成立，后续的结果自然也就不对啦。

下面给你梳理一下正确的求解思路和步骤：

这个方程属于一阶非齐次分式微分方程，我们需要先通过变量替换消去常数项，转化为齐次方程来求解：

• 步骤1：变量替换消去常数项
  设 $x = u + h$，$t = v + k$，代入原方程后，令分子分母的常数项都为0，解方程组：
  $$
  \begin{cases}
  h + 2k - 6 = 0 \
  2h + k = 0
  \end{cases}
  $$
  解得 $h=-2$，$k=4$，也就是 $x = u - 2$，$t = v + 4$，此时原方程转化为齐次方程：
  $$
  \frac{du}{dv} = \frac{u+2v}{2u+v}
  $$

• 步骤2：齐次方程求解
  设 $u = v \cdot w(v)$，则 $\frac{du}{dv} = w + v\frac{dw}{dv}$，代入齐次方程后整理分离变量：
  $$
  \frac{2w+1}{2(1-w^2)}dw = \frac{dv}{v}
  $$
  对左边分式做部分分解后积分，再逐步代回原变量，最终可以得到原方程的通解：
  $$
  (t-x-6)^3(t+x-2) = C
  $$
  （其中C为任意常数）

这样得到的结果才是原方程的正确通解哦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者qerty149