最近我跟着YouTube上MindYourDecisions的一道几何题解题，过程中用微积分算面积，得到的表达式和视频里的答案看起来完全不搭边，但数值却完全一致——这让我特别好奇这两个表达式到底是怎么联系起来的。先给大家梳理下我的解题过程：

我的解题步骤 #

首先我把题目里的图形翻转拆分，写出三个圆的方程并取需要的部分：

• 左侧圆：x² + (y-5)² = 5²，取下半部分：y = 5 - sqrt(25 - x²)
• 底部圆：(x-5)² + y² = 5²，取上半部分：y = sqrt(10x - x²)
• 大圆：x² + (y-10)² = 10²，取下半部分：y = 10 - sqrt(100 - x²)

1. 计算左侧区域面积 #

求左侧圆与大圆在x∈[0,5]区间的面积差，积分式为：

∫₀⁵ [(5 - sqrt(25 - x²)) - (10 - sqrt(100 - x²))] dx

计算后得到结果：(25 (6 (-2 + √3) + π))/12

2. 找底部圆与大圆的交点 #

联立两个圆的方程：

sqrt(10x - x²) = 10 - sqrt(100 - x²)

解得交点的x坐标为x=0和x=8

3. 计算右侧区域面积 #

求底部圆与大圆在x∈[5,8]区间的面积差，积分式为：

∫₅⁸ [sqrt(10x - x²) - (10 - sqrt(100 - x²))] dx

计算后得到结果：(25 (5π - 6 (√3 + arctan(44/117))))/12

4. 合并总面积 #

把两部分面积相加并化简，最终得到：
(25/2)(-2 + π - arctan(44/117))

但视频里给出的标准答案是：
(75/2)arcsin(4/5) - 25

数值计算显示这两个式子结果完全相同，但44/117和4/5看起来八竿子打不着，怎么会等价呢？

等价性的推导：反三角函数恒等变换 #

其实核心是利用反三角函数的三倍角关系来证明，步骤如下：

1. 先设 θ = arcsin(4/5)，根据三角函数定义，sinθ = 4/5，构造直角三角形可知：

   • 邻边为√(5²-4²)=3，所以tanθ = 4/3

2. 我们先把两个表达式做等价变形，两边同时乘以2/25：
   左边化简后：-2 + π - arctan(44/117)
   右边化简后：3 arcsin(4/5) - 2
   消去两边的-2，就得到需要证明的核心等式：
   π - arctan(44/117) = 3θ

3. 接下来验证这个等式的正确性，两边取正切：

   • 右边tan(3θ)用三倍角公式计算：tan3θ = (3tanθ - tan³θ)/(1 - 3tan²θ)
     代入tanθ=4/3：

   tan3θ = (3*(4/3) - (4/3)³)/(1 - 3*(4/3)²) = (4 - 64/27)/(1 - 16/3) = (44/27)/(-13/3) = -44/117
   

   • 左边tan(π - arctan(44/117))，根据正切的诱导公式，tan(π - α) = -tanα，所以结果为-44/117

4. 最后验证角度范围：

   • θ = arcsin(4/5)，所以θ ∈ (0, π/2)，那么3θ ∈ (0, 3π/2)，又因为tan3θ=-44/117<0，所以3θ ∈ (π/2, π)
   • π - arctan(44/117)中，arctan(44/117) ∈ (0, π/2)，所以这个角度也属于(π/2, π)

   两个角度在同一区间内，正切值相等，因此角度必然相等，核心等式成立。

把这个角度关系代回原来的面积表达式，就能证明两个式子完全等价了！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者André Christoffer Andersen