嘿，这个问题挺有意思的——咱们有个正随机变量$X$，它的尾概率满足次高斯型的上界：存在常数$A,C>0$，对任意$\varepsilon>0$都有
$$\mathbb{P}(X \geq \varepsilon) \leq A \exp (-C \varepsilon^2)$$
现在想探究$\mathbb{E}\left[ \exp\left(-\frac{1}{X}\right) \right]$的性质，对吧？我来一步步拆解下思路：

第一步：用期望的积分形式转化问题 #

对于非负随机变量的函数，我们可以用积分形式的期望公式来改写：
$$\mathbb{E}[f(X)] = \int_0^\infty \mathbb{P}(f(X) > t) dt$$
这里$f(x)=\exp\left(-\frac{1}{x}\right)$，先观察这个函数的单调性：当$x>0$时，$\frac{1}{x}$随$x$增大而减小，所以$-\frac{1}{x}$随$x$增大而增大，因此$\exp\left(-\frac{1}{x}\right)$是关于$x$的严格递增函数。这个单调性太关键了，能帮我们把概率事件直接转化为关于$X$的事件：

当$t \in (0,1)$时（因为$X>0$，$\exp\left(-\frac{1}{X}\right)$的取值范围是$(0,1)$，$t \geq 1$时概率为0，$t \leq 0$时概率为1），我们有：
$$\mathbb{P}\left( \exp\left(-\frac{1}{X}\right) > t \right) = \mathbb{P}\left( -\frac{1}{X} > \ln t \right) = \mathbb{P}\left( X > -\frac{1}{\ln t} \right)$$

做个变量替换，令$s = -\frac{1}{\ln t}$，那么$t = \exp\left(-\frac{1}{s}\right)$，当$t$从0到1时，$s$从0到∞，同时$dt = \exp\left(-\frac{1}{s}\right) \cdot \frac{1}{s^2} ds$。代入期望公式后，就得到：
$$\mathbb{E}\left[ \exp\left(-\frac{1}{X}\right) \right] = \int_0^\infty \mathbb{P}(X > s) \cdot \exp\left(-\frac{1}{s}\right) \cdot \frac{1}{s^2} ds$$

第二步：代入尾界估计积分 #

现在把已知的$X$的尾界$\mathbb{P}(X>s) \leq A \exp(-C s^2)$代入上式，就能得到期望的上界：
$$\mathbb{E}\left[ \exp\left(-\frac{1}{X}\right) \right] \leq A \int_0^\infty \exp\left(-C s^2 - \frac{1}{s}\right) \cdot \frac{1}{s^2} ds$$

接下来我们把积分拆成两部分，分别估计收敛性和上界：

• 当$s \geq 1$时：
  此时$-C s^2 - \frac{1}{s} \leq -C s^{2$，且$\frac{1}{s}2} \leq 1$，所以这部分积分满足：
  $$\int_1^\infty \exp\left(-C s^2 - \frac{1}{s}\right) \cdot \frac{1}{s^2} ds \leq \int_1^\infty \exp(-C s^2) ds$$
  这个高斯型积分是收敛的，我们可以用简单的上界估计：$\int_1^\infty \exp(-C s^2) ds \leq \frac{1}{2C} \exp(-C)$（用分部积分或者比较法都能轻松推导）。

• 当$0 < s \leq 1$时：
  做变量替换$u = \frac{1}{s}$，则$s = \frac{1}{u}$，$ds = -\frac{1}{u^2} du$，积分转化为：
  $$\int_0^1 \exp\left(-C s^2 - \frac{1}{s}\right) \cdot \frac{1}{s^2} ds = \int_1^\infty \exp\left(-\frac{C}{u^2} - u\right) du$$
  当$u \geq 1$时，$\frac{C}{u^2} \geq 0$，所以$-u - \frac{C}{u^2} \leq -u$，因此$\exp\left(-u - \frac{C}{u^2}\right) \leq \exp(-u)$，而$\int_1^\infty \exp(-u) du = \frac{1}{e}$，显然收敛。

第三步：总结结论 #

把两部分的估计合起来，就能得到：
$$\mathbb{E}\left[ \exp\left(-\frac{1}{X}\right) \right] \leq A \left( \frac{1}{2C} \exp(-C) + \frac{1}{e} \right)$$

这个结果说明：

1. $\mathbb{E}\left[ \exp\left(-\frac{1}{X}\right) \right]$是有限的，不会发散；
2. 我们可以用已知的次高斯尾界常数$A,C$直接给出这个期望的明确上界；
3. 你提到的“在概率上的界”也可以由此推导，比如用马尔可夫不等式：$\mathbb{P}\left( \exp\left(-\frac{1}{X}\right) \geq t \right) \leq \frac{\mathbb{E}\left[ \exp\left(-\frac{1}{X}\right) \right]}{t}$，不过因为$\exp\left(-\frac{1}{X}\right) < 1$，这个概率界可能不是特别紧，但核心的期望有限性和上界已经很明确了。

另外补充一点：虽然$\frac{1}{X}$确实不是次高斯随机变量，但我们通过期望的积分表示，巧妙地把问题转化为了关于$X$尾概率的积分，而$X$的次高斯尾界刚好能保证这个积分收敛，完美绕过了直接处理$\frac{1}{X}$分布的麻烦～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者LSK21