嘿，这个问题挺有意思的！让我们一步步来拆解它，看看能不能找到你要的答案。

首先，这个函数方程是不是有点眼熟？它和余弦函数的二倍角公式$\cos(2\theta)=2\cos^{2\theta-1$、双曲余弦的二倍角公式$\cosh(2\theta)=2\cosh}2\theta-1$完全匹配，这给了我们一个很好的入手方向。

第一步：拆分定义域，替换变量简化方程 #

我们的定义域是非零实数，所以可以分成$x>0$和$x<0$两部分来处理：

• 对于$x>0$，令$x=e^{t$（$t\in\mathbb{R}$），再定义$g(t)=f(e}t)$，代入原方程就得到：
  $$g(2t)=2g(t)^2-1$$
  这是一个经典的函数方程，它的连续解我们是清楚的：要么是常数解$g(t)=1$，要么是形如$g(t)=\cos(kt)$（$k$为任意常数），要么是$g(t)=\cosh(kt)$（$k$为任意常数）。
• 对于$x<0$，注意到$x^{2>0$，所以原方程可变形为$2f(x)}2-1=f(x^2)$，而$x2$对应$x>0$的情况，因此$f(x)^2=f(|x|)2$，也就是说$f(-x)=\pm f(x)$。又因为$f$是连续函数，不可能在某些点取正、某些点取负（否则会出现$f(x)=0$的点，和值域非零的要求矛盾），所以$f$要么是偶函数（$f(-x)=f(x)$），要么是奇函数（$f(-x)=-f(x)$）。

第二步：结合满射要求，分析解的值域 #

你想要的是满射到非零实数的解，也就是$f$的值域要覆盖所有不等于0的实数，我们来逐个看上面的连续解是否满足：

1. 常数解$g(t)=1$：对应$f(x)=1$对所有非零$x$成立，值域只有${1}$，显然不满射，这是你已经知道的平凡解。
2. 形如$g(t)=\cos(kt)$的解：对应$x>0$时$f(x)=\cos(k\ln x)$，它的值域是$[-1,1]$。如果$f$是偶函数，那$x<0$时$f(x)=\cos(k\ln|x|)$，值域还是$[-1,1]$；如果是奇函数，$x<0$时$f(x)=-\cos(k\ln|x|)$，值域依然是$[-1,1]$。不管哪种情况，都取不到比如$2$、$-3$这类超出$[-1,1]$的非零实数，满足不了满射要求。
3. 形如$g(t)=\cosh(kt)$的解：对应$x>0$时$f(x)=\cosh(k\ln x)$，它的值域是$[1,+\infty)$（双曲余弦的值域本来就是$[1,+\infty)$）。如果是偶函数，$x<0$时$f(x)=\cosh(k\ln|x|)$，值域还是$[1,+\infty)$；如果是奇函数，$x<0$时$f(x)=-\cosh(k\ln|x|)$，值域变成$(-\infty,-1]$。两种情况的合并值域都是$(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)$，取不到比如$0.5$、$-0.3$这类介于$-1$和$1$之间的非零实数，同样不满足满射。

第三步：结论 #

从上面的分析可以看出，所有满足原方程的连续解，它们的值域要么是单点集，要么是有界区间，要么是两段无界区间但中间有空隙，没有任何一个连续解能覆盖全体非零实数。也就是说，不存在你要找的那种非平凡、连续且满射到非零实数的解。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者jackson