嗨，我来帮你一步步拆解这两个问题，顺便验证你的思路～

a) 函数 $\boldsymbol{f(z)=\frac{\sin(z)}{e^z-e{\pi}}}$ 的奇点与围道积分 #

步骤1：找所有奇点 #

分母 $e^z - e^\pi = 0$ 时，$e^z = e^\pi$，根据指数函数的周期性，解为 $z = \pi + 2k\pi i$，其中 $k \in \mathbb{Z}$。这些就是函数的所有奇点。

步骤2：判断每个奇点的类型 #

• 当 $k=0$，即 $z=\pi$：
  分子 $\sin(\pi)=0$，分母在 $z=\pi$ 处是一阶零点（因为 $(e^z - e^{\pi)'|_{z=\pi}=e}\pi \neq 0$），分子 $\sin(z)$ 在 $z=\pi$ 处是一阶零点（$(\sin z)'|_{z=\pi}=\cos\pi=-1\neq0$）。分子分母的零点阶数相同，因此 $z=\pi$ 是可去奇点（Laurent展开无负幂次项）。
• 当 $k\neq0$，即 $z=\pi+2k\pi i$：
  此时 $\sin(z)=\sin(\pi+2k\pi i)=-\sin(2k\pi i)=-i\sinh(2k\pi)\neq0$（双曲正弦不为零），而分母仍是一阶零点，因此这些点都是一阶极点。

步骤3：计算围道积分 $\boldsymbol{\int_{|z|=4}f(z)dz}$ #

首先看哪些奇点在 $|z|=4$ 内部：

• $z=\pi\approx3.14$，模长小于4，在圆内；
• 其他奇点 $z=\pi+2k\pi i$（$k\neq0$），比如 $k=1$ 时，$z=\pi+2\pi i$ 的模长是 $\sqrt{\pi^2+(2\pi)2}=\pi\sqrt{5}\approx7.02>4$，同理 $k=-1$ 时模长也大于4，都在圆外。

可去奇点的留数为0（因为Laurent展开无负幂次项），根据留数定理，积分等于 $2\pi i$ 乘以内部奇点的留数之和，即：
$$\int_{|z|=4}f(z)dz=2\pi i \cdot 0=0$$

b) 函数 $\boldsymbol{f(z)=\sin(e^\frac{1}{z})}$ 的奇点与围道积分 #

步骤1：判断奇点类型 #

函数唯一的奇点是 $z=0$（因为 $1/z$ 在 $z=0$ 无定义）。我们可以通过Laurent展开来判断：
首先，$e^{1/z}$ 的Laurent展开为：
$$e^{{1/z}=\sum_{n=0}}\infty \frac{1}{n! z^{n}=1+\frac{1}{z}+\frac{1}{2z}2}+\frac{1}{6z^3}+\dots$$
代入 $\sin(w)$ 的泰勒展开 $\sin(w)=\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k w^{2k+1}}{(2k+1)!}$，展开后会得到无穷多个负幂次项（比如 $\frac{1}{z}$、$\frac{1}{z^{2}$、$\frac{1}{z}3}$…都存在），因此 $z=0$ 是本质奇点，你的判断完全正确！

步骤2：计算围道积分 $\boldsymbol{\int_{|z|=4}f(z)dz}$ #

这里用变量替换更简便：令 $w=\frac{1}{z}$，则 $dz=-\frac{dw}{w^2}$，当 $z$ 沿 $|z|=4$ 正向绕一周时，$w$ 沿 $|w|=\frac{1}{4}$ 反向绕一周，因此积分变为：
$$\int_{|z|=4}\sin(e^{{1/z})dz=\int_{|w|=\frac{1}{4}}\sin(e}w)\cdot\left(-\frac{dw}{w^{2}\right)=\int_{|w|=\frac{1}{4}}\frac{\sin(e}w)}{w^2}dw$$
（反向积分抵消了负号）

现在，$\sin(e^w)$ 在 $|w|\leq\frac{1}{4}$ 内是解析函数（$e^w$ 全平面解析，$\sin$ 也是全平面解析，复合后仍解析），根据柯西积分公式的导数形式：
$$\int_C \frac{g(w)}{(w-a)^{n+1}}dw=\frac{2\pi i}{n!}g^{(n)}(a)$$
这里 $g(w)=\sin(e^w)$，$a=0$，$n=1$，所以：
$$\int_{|w|=\frac{1}{4}}\frac{\sin(e^w)}{w2}dw=2\pi i \cdot g'(0)$$
计算 $g'(w)=\cos(e^w)\cdot e^w$，代入 $w=0$ 得 $g'(0)=\cos(e^0)\cdot e^0=\cos(1)$，因此原积分：
$$\int_{|z|=4}\sin(e^{1/z})dz=2\pi i \cos(1)$$

备注：内容来源于stack exchange，提问作者MilesDefis