嘿，我来帮你梳理下这个问题的思路，看看你的证明方向对不对~

首先先明确相关定义和要证的命题：

定义：序列 $(x_n)$ 被称为有界变差序列，当且仅当由 $v_n = \sum_{i=1}^n |x_{i+1} - x_i|$ 定义的序列 $(v_n)$ 是有界的。

待证命题：若对所有 $n \in \mathbb{N}$，有 $|x_{n+2} - x_{n+1}| \le c|x_{n+1} - x_n|$，其中 $0 \le c < 1$，则 $(x_n)$ 是有界变差序列。

你的整体思路是对的，分情况讨论完全可行！先定义 $y_n = |x_{n+1} - x_n|$ 这个替换非常巧妙，把原问题转化为了关于正项序列 $(y_n)$ 的级数收敛性问题，抓准了核心。

对两种情况的分析 #

• 情况I：$0 < c < 1$
  你这里用比值判别法的逻辑完全严谨：因为 $\frac{y_{n+1}}{y_n} \le c < 1$，正项级数 $\sum_{n=1}^\infty y_n$ 满足比值判别法的收敛条件，因此级数收敛。而级数的部分和序列恰好就是 $(v_n)$，收敛的数列必然有界，所以直接推出 $(x_n)$ 是有界变差序列，这部分没问题。

• 情况II：$c = 0$
  当 $c=0$ 时，原不等式变为 $|x_{n+2} - x_{n+1}| \le 0$，结合绝对值的非负性，只能得到 $|x_{n+2} - x_{n+1}| = 0$，也就是从 $n=2$ 开始，$x_3 = x_4 = x_5 = \dots$，序列后续项都相等。
  此时级数 $\sum_{n=1}^\infty y_n = |x_2 - x_1| + |x_3 - x_2| + 0 + 0 + \dots$，这是个有限和，显然收敛，对应的部分和序列 $(v_n)$ 从 $n \ge 2$ 之后就固定为这个有限值，自然是有界的，所以这种情况也能推出结论。

额外补充：更简洁的统一证法 #

其实不用分开讨论，我们可以用数学归纳法先得到 $y_n \le c^{n-1} y_1$（其中 $y_1 = |x_2 - x_1|$）：

• 基例：$n=1$ 时，$y_1 = c^{0} y_1$，成立；
• 归纳假设：假设 $y_k \le c^{k-1} y_1$，则 $y_{k+1} \le c y_k \le c \cdot c^{k-1} y_1 = c^k y_1$，成立。

那么部分和 $v_n = \sum_{i=1}^n y_i \le y_1 \sum_{i=0}^{n-1} c^i$，而等比级数 $\sum_{i=0}^\infty c^i = \frac{1}{1 - c}$（因为 $0 \le c < 1$），所以 $v_n \le \frac{y_1}{1 - c}$ 对所有 $n$ 都成立，直接说明 $(v_n)$ 有界，一步到位证明结论，逻辑更紧凑。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者AndrewMoralles