嘿，这个问题问得相当到位！咱们完全可以利用最大公约数（GCD）的核心性质来化简这个表达式，全程不需要先做那些乘法计算，而且刚好能用上a和b互质这个关键条件。

先给你直接上结论，再一步步推导验证：
原表达式可以化简为：
GCD(a*x - d*b, a - b*x) = GCD(a - b*x, a² - d*b²)

推导过程（用GCD的线性组合性质） #

回忆GCD的一个核心性质：对于任意整数m、n、k，都有 GCD(m, n) = GCD(m, n + k*m)——简单说就是，GCD里的其中一个数加上另一个数的整数倍，结果不变。

咱们设：

• m = a*x - d*b
• n = a - b*x

现在我们用b乘m，加上a乘n，把x的项消掉：

b*m + a*n = b*(a*x - d*b) + a*(a - b*x)
          = a*b*x - d*b² + a² - a*b*x
          = a² - d*b²

根据GCD的性质，GCD(m, n)必然能整除b*m + a*n，也就是整除a² - d*b²。同时，GCD(m, n)本来就整除n（也就是a - b*x），所以我们可以把原GCD转化为GCD(n, a² - d*b²)，也就是开头给出的化简结果。

举个例子验证 #

比如取a=3、b=2（互质）、d=1、x=5：

• 原表达式：GCD(3*5 -1*2, 3-2*5) = GCD(13, -7) = 1
• 化简后：先算固定常数a² -d*b² = 9 - 1*4 =5，再算GCD(3-2*5,5)=GCD(-7,5)=1，结果完全一致。

再换一组：a=5、b=3、d=2、x=4：

• 原表达式：GCD(5*4 -2*3,5-3*4)=GCD(14,-7)=7
• 化简后：固定常数25 -2*9=7，GCD(5-12,7)=GCD(-7,7)=7，完美匹配。

为什么这个化简有用？ #

a² - d*b²是个只和常数a、b、d有关的固定值，和变量x完全无关。也就是说，你只需要提前算一次这个固定值，之后不管x取什么整数，都只需要计算a - b*x和这个固定值的GCD就行，完全避开了原表达式里的两次乘法，计算量大大降低。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者John Bull