嘿，你的两个思路其实都摸到了关键点，但首先得澄清一个重要事实：对数正态分布的矩生成函数（MGF）并不是对所有t都有限的——当t>0时，$E[e^{tX}]$其实是发散的，只有t≤0时它才有限。下面我帮你拆解两个思路的正确走向：

一、积分定义法的正确推导 #

你提到的分布函数转换其实应该修正为**概率密度函数（pdf）**的转换（你写的$F_X$应该是$f_X$，概率密度），这个思路是对的：

• 已知$Z \sim N(0,1)$，其pdf为：
  φ(z) = 1/√(2π) e^{-z²/2}, z∈ℝ
• 令$X=e^{Z$，做变量替换$x=e}z$（即$z=lnx$，$x>0$），根据变量替换的pdf公式：
  f_X(x) = φ(lnx) * |dz/dx| = φ(lnx)/x
  代入φ的表达式，得到X的pdf：
  f_X(x) = 1/(x√(2π)) e^{-(lnx)²/2}, x>0
• 现在计算MGF $E[e^{tX}]$，用积分定义展开：
  E[e^{tX}] = ∫₀^∞ e^{tx} * f_X(x) dx = ∫₀^∞ e^{tx} * 1/(x√(2π)) e^{-(lnx)²/2} dx
• 再换元回$z=lnx$，$dx=xdz$，代入后化简：
  E[e^{tX}] = ∫_{-∞}^∞ e^{t e^z} * 1/√(2π) e^{-z²/2} dz

接下来分情况讨论积分的收敛性：

• 当t≤0时：$e^{t e^z} ≤ 1$（因为$e^z>0$，t≤0则$t e^z≤0$，指数函数值≤1），此时被积函数≤1/√(2π) e^{-z²/2}，而这个函数是可积的（标准正态pdf的积分是1），所以积分有限。
• 当t>0时：当$z→+∞$时，$t e^{z$增长速度远快于$z²/2$的衰减速度（$e}z$是指数增长，$z²$是多项式增长），因此$t e^z - z²/2 → +∞$，被积函数e^{t e^z - z²/2}/√(2π)趋向+∞，积分发散。

二、泰勒展开+控制收敛定理的思路 #

这个思路的问题在于，泰勒展开后的级数其实是发散的，所以控制收敛定理并不适用（因为级数本身不收敛）：

• 首先，$e^{tX}$的泰勒展开是：e^{tX} = ∑_{n=0}^∞ (tX)^n / n!
• 计算X的n阶矩：$E[X^n] = E[e^{{nZ}]$，而Z的MGF是$E[e}{sZ}]=e^{s²/2}$，代入$s=n$得E[X^n]=e^{n²/2}
• 因此MGF的级数形式为：∑_{n=0}^∞ t^n e^{n²/2} / n!
• 用比值判别法验证收敛性：取相邻两项的比值
  a_{n+1}/a_n = t * e^{( (n+1)^2 - n² )/2} * n!/(n+1)! = t * e^{(2n+1)/2}/(n+1)
  当$n→∞$时，这个比值的绝对值趋向+∞（无论t>0还是t<0，只要t≠0），说明级数发散，因此$E[e^{tX}]$在t≠0时（t>0发散，t<0其实级数也发散，但积分是有限的，这是因为泰勒展开的部分和无法被一个可积函数控制，所以控制收敛定理不适用）

总结一下：你的两个思路都是合理的，但需要注意对数正态分布的MGF仅在t≤0时有限，t>0时是发散的。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者ultimate_beaver