嘿，这个问题的核心突破口其实很明确——两个三角形共享角A，那这个角的余弦值是完全相同的，我们可以用余弦定理把这个等量关系建立起来，一步步解出x。

具体步骤是这样的：

1. 先写出原△ABC中角A的余弦表达式
   根据余弦定理，在△ABC里：
   cosA = (b² + c² - a²)/(2bc)

2. 再写出新△AB'C'中角A的余弦表达式
   因为△AB'C'共享角A，且已知b'=b-x，c'=c-x，a'=2x，同样用余弦定理：
   cosA = [(b-x)² + (c-x)² - (2x)²]/[2(b-x)(c-x)]

3. 联立两个等式求解
   既然两个式子都等于cosA，我们可以把它们联立，先约掉两边的2，得到：
   (b² + c² - a²)(b-x)(c-x) = bc[(b-x)² + (c-x)² - 4x²]

接下来展开并整理这个等式：

• 先处理左边：把(b-x)(c-x)展开成bc - x(b+c) + x²，左边整体变为(b² + c² - a²)(bc - x(b+c) + x²)
• 再处理右边：先展开括号内的部分：
  (b-x)² + (c-x)² - 4x² = b² - 2bx + x² + c² - 2cx + x² - 4x² = b² + c² - 2x(b+c) - 2x²
  右边整体变为bc(b² + c² - 2x(b+c) - 2x²)

把左右两边全部展开后，将所有项移到等式一侧，就能整理出一个关于x的一元二次方程（形式为Ax² + Bx + C = 0），之后用求根公式x = [-B ± √(B²-4AC)]/(2A)就能算出x的可能值。

最后别忘了验证解的合理性：x必须满足0 < x < min(b,c)，毕竟新三角形的边长b'、c'、a'都得是正数，不符合这个范围的根直接舍去就好。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者VANDERWEYEN Jonathan