你好！我来帮你梳理清楚这个问题，其实你想要的近似是完全可以得到的，咱们一步步来拆解：

首先，先看你给出的指数积分级数表达式：
$$E_1(z) = -\gamma - \ln z - \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n z^n}{n n!}$$
我们先把这个级数的前几项展开，看看它的具体形式：

• 当$n=1$时，级数项为 $\frac{(-1)^1 z^1}{1 \cdot 1!} = -z$，加上原式前面的负号后，这一项就变成 $-(-z) = z$
• 当$n=2$时，级数项为 $\frac{(-1)^2 z^2}{2 \cdot 2!} = \frac{z^2}{4}$，加上前面的负号后变成 $-\frac{z^2}{4}$
• 当$n \geq 3$时，所有项都是$z$的三次方及更高阶的项

把这些前两项代入原式，就会得到：
$$E_1(z) = -\gamma - \ln z + z - \frac{z^2}{4} + \sum_{n=3}^\infty \frac{(-1)^{n+1} z^n}{n n!}$$
当$|z|$很小时，从$n=3$开始的求和项的绝对值远小于$z^{2$，所以可以用大O符号将它们合并表示为$O(z}2)$，这样就正好得到了你想要的近似式：
$$E_1(z) = -\gamma - \ln z + z + O(z^2)$$

接下来解答你关于级数收敛性和对应函数的疑问：

1. 级数的收敛性：这个级数是收敛半径为无穷大的泰勒级数。你可以用比值判别法验证：对于任意有限的$z$（除负实轴外，因为$E_1(z)$在负实轴存在分支切割），当$n \to \infty$时，相邻两项的比值极限为0，这意味着它在所有有限的非负实轴复数值上都能收敛。
2. 级数对应的函数：这个级数其实是函数$f(z) = E_1(z) + \gamma + \ln z$的泰勒展开。你会发现$f(z)$在$z=0$处是解析的——因为$E_1(z)$的奇异性项$-\gamma - \ln z$被完全抵消了，$f(z)$在$z=0$处的取值为0，一阶导数为1，正好对应级数的首项$z$。

最后补充一点：你提到的$O(z^2)$是针对$z \to 0$时的小量近似；如果是$z \to \infty$时的渐近展开，那会是另一种完全不同的形式，但从你的需求来看，显然是针对小$z$的场景，上面的推导完全适用。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1178472