嘿，这个问题太典型了——数学里同一个术语在不同分支下的定义差异，确实很容易让人绕晕！我来帮你把这两种“连续”的核心区别掰明白：

• 分析学（微积分/拓扑学）中的连续性：
  这是我们最早接触的那种“连续”，核心盯着函数在单个点附近的局部行为。标准定义是ε-δ语言：对定义域里的点a，不管你要f(x)多接近f(a)，总能找到a附近的一小片区域，让里面所有x对应的f(x)都满足要求；用极限说就是lim_{x→a} f(x) = f(a)（单侧的话需要左右极限都等于函数值）。
  你举的例子里，x=-1处左极限和右极限不相等，完全不满足这种“局部逼近”的要求，所以在分析学视角下，这个函数就是间断的。

• 不动点理论中提到的“连续”：
  这个“连续”和上面的完全不是一回事！它根本不关心单个点附近的变化，而是聚焦于函数对集合上确界（或下确界）的保持能力，属于序理论范畴里的定义。
  具体来说，如果对定义域的任意子集X，都满足sup{f(x) | x ∈ X} = f(sup X)（如果下确界也满足就是保双确界），这类函数就会被称为“序连续”或者“保上确界连续”——而像Tarski不动点定理这类经典工具，正是基于这种“保序结构”的性质来保证不动点存在的。你说的函数刚好满足这个保上确界的条件，所以在不动点理论的语境下会被称作“连续”，但这和分析学的局部连续性没有直接关系。

怎么避免混淆？ #

最关键的就是别只说“连续”，一定要加前缀明确语境：

• 当你指分析学里的局部连续性时，直接说「拓扑连续」「ε-δ连续」或者「分析学意义下的连续」；
• 当你指不动点理论里的保确界性质时，说「序连续」「保上确界连续」或者「Tarski框架下的连续」。

其实这种术语复用在数学里挺常见的——不同分支会根据自己研究的核心对象来定义“连续”：分析学关注的是拓扑邻域结构的保持，而不动点理论里很多场景研究的是序结构的保持，两者本质是在不同结构下“不跳跃”的体现，但定义和判断标准完全不同。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Jip Helsen