我完全理解你的困惑，这个步骤看起来确实有点跳步，尤其是从指数的噪声平均直接跳到带双积分的指数形式，其实背后是利用了高斯随机变量的特征函数性质，或者通过泰勒展开+噪声矩的定义就能一步步推出来，我给你拆解一下：

第一步：把指数函数展开成泰勒级数 #

首先，我们可以把指数函数拆成幂级数形式，这是处理这类期望的常用技巧：

exp(iq ∫_{t₀}^t η(τ) dτ) = Σₙ=0^∞ (iq)^n / n! [ ∫_{t₀}^t η(τ) dτ ]^n

然后对噪声取平均，根据题目里给的噪声奇数阶矩为0的性质，所有n为奇数的项都会消失，只剩下偶数项：

⟨exp(iq ∫ηdτ)⟩_η = Σₙ=0^∞ (iq)^{2n}/(2n)! ⟨ [∫ηdτ]^{2n} ⟩_η

注意这里(iq)^{2n} = (i²)^n q^{2n} = (-1)^n q^{2n}，虚数单位的平方把符号翻过来了，这也是后面虚数消失的关键。

第二步：展开积分的2n次方并利用噪声的偶数阶矩 #

把积分的2n次方展开成多重积分：

[∫η(τ)dτ]^{2n} = ∫_{t₀}^t ∫_{t₀}^t ... ∫_{t₀}^t η(τ₁)η(τ₂)...η(τ_{2n}) dτ₁dτ₂...dτ_{2n}

现在代入题目里给的偶数阶矩公式：

⟨η(t₁)...η(t_{2n})⟩η = σⁿ Σ{所有配对} δ(t_{i₁}-t_{i₂})...δ(t_{i_{2n-1}}-t_{i_{2n}})

这里的“所有配对”是指把2n个指标分成n对的所有方式，总共有(2n)! / (2ⁿ n!)种（因为每对内部顺序无关，n对之间的顺序也无关）。

把这个矩代入期望后，多重积分就变成了对n个δ函数的积分。最终每个配对对应的积分结果可以等价于噪声二阶矩的双积分：∫∫⟨η(τ)η(τ')⟩dτdτ'，n个这样的配对对应的积分结果就是[∫∫⟨η(τ)η(τ')⟩dτdτ']^n。

计算一下第n项的期望：

⟨[∫ηdτ]^{2n}⟩_η = (2n)! / (2ⁿ n!) * [ ∫_{t₀}^t∫_{t₀}^t ⟨η(τ)η(τ')⟩dτdτ' ]^n

这个式子可以用n=1和n=2验证：

• n=1时，⟨[∫ηdτ]^2⟩ = ∫∫⟨ηη'⟩dτdτ'，而(2)!/(2^1 1!) * [∫∫⟨ηη'⟩]^1 = 2/(2*1)*... = 1*...，完全符合；
• n=2时，⟨[∫ηdτ]^4⟩ = 3[∫∫⟨ηη'⟩]^2，而(4)!/(2^2 2!) = 24/(4*2)=3，也和题目里的矩公式一致。

第三步：重新组合成指数函数 #

把第二步的结果代入泰勒展开的偶数项：

(-1)^n q^{2n}/(2n)! * (2n)! / (2ⁿ n!) * [∫∫⟨ηη'⟩dτdτ']^n = (-1)^n q^{2n}/(2ⁿ n!) * C^n

其中C = ∫∫⟨η(τ)η(τ')⟩dτdτ'，整理一下就是：

= [ - q² C / 2 ]^n / n!

现在对n从0到∞求和，这正好是指数函数的泰勒展开：

Σₙ=0^∞ [ - q² C / 2 ]^n /n! = exp( - q²/2 ∫_{t₀}^t∫_{t₀}^t ⟨η(τ)η(τ')⟩dτdτ' )

这样就得到了题目里的那个等式！

更直观的理解：高斯随机变量的特征函数 #

其实这个结果也可以直接用高斯随机变量的特征函数来解释：

• 白噪声η(τ)是高斯过程，它的积分X = ∫_{t₀}^t η(τ)dτ是一个高斯随机变量；
• 高斯随机变量X的特征函数是E[exp(iqX)] = exp( iqμ - q²σ²/2 )，其中μ是均值，σ²是方差；
• 这里X的均值μ = ⟨X⟩ = ∫⟨η(τ)⟩dτ = 0（因为噪声的一阶矩为0）；
• X的方差σ² = ⟨X²⟩ - ⟨X⟩² = ⟨(∫ηdτ)^2⟩ = ∫∫⟨η(τ)η(τ')⟩dτdτ'；
• 代入特征函数公式，就直接得到⟨exp(iqX)⟩ = exp( - q²/2 * σ² )，也就是题目里的结果。

这样是不是就清楚多了？从单积分到双积分是因为我们在计算方差，虚数单位消失是因为均值为0，而期望能转化为指数形式是因为高斯变量的特征函数刚好具备这种结构，或者通过泰勒展开重新组合也能得到相同的结论。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Pascal S.