嘿，咱们来一步步拆解你的问题：

一、关于“（斜）李除环”的推广概念 #

你观察到$\mathbb C$和$\mathbb H$（四元数，也就是你说的$\mathbb C^2$）的特殊之处：它们作为流形，加法构成李群，去掉零元后的乘法也构成李群——这个结构其实对应一个成熟的数学概念：李除环（Lie division ring），也常被归为实结合李除环的范畴。

更准确地说，这类结构属于拓扑除环的子类：当一个除环同时是有限维实流形，且加法、乘法（去零元）运算都是光滑映射时，它就是李除环。而根据经典的Frobenius定理，有限维的结合实李除环只有三个：$\mathbb R$（1维）、$\mathbb C$（2维）、$\mathbb H$（4维，四元数），这正好对应你提到的例子。

二、$\mathbb R^3$上是否存在满足条件的（斜）除环结构？ #

不管是要求李群还是拓扑群，答案都是不存在，原因如下：

1. 李群视角的矛盾 #

首先，Frobenius定理直接排除了3维结合实除环的存在——有限维结合实除环的维度只能是1、2、4。那非结合的情况呢？目前已知的非结合实除环只有凯莱数（8维），同样没有3维的。

从李代数层面看：$\mathbb R^3 \setminus {0}$如果是除环的乘法李群，它的李代数需要对应一个有可逆乘法的3维实代数结构，但3维实空间上不存在这样的结合/斜结合代数（因为实数域上有限维除环的维度必须是平方数，3不是平方数，这是Wedderburn定理的推论）。

2. 拓扑群视角的矛盾 #

即使放宽到拓扑群，结果也一样。因为希尔伯特第五问题的解决告诉我们：有限维的连通拓扑群必然是李群。也就是说，如果$\mathbb R^3$上存在拓扑除环结构（加法是拓扑群，$\mathbb R^3 \setminus {0}$是乘法拓扑群），那它自动就是李除环，又回到了Frobenius定理的结论——3维根本没有这样的结构。

简单总结：3维实空间从代数和拓扑结构上，都无法支撑起满足你要求的（斜）除环结构。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者rosecabbage