嘿，这个问题提得特别好——正好触及了黎曼积分里正则化函数和下积分的核心联系！直接给结论：是的，$\varphi(x)=\liminf_{t\to x}f(t)$确实是黎曼可积的，而且等式$\int_a^{b\varphi(x),dx=\underline{\int_a}b}f(x),dx$完全成立，你的第二个猜测（仅小于等于）其实不对，两边是严格相等的。

下面我分两部分解释，先讲可积性，再证等式：

一、为什么$\varphi$是黎曼可积的？ #

首先，$\varphi$是$f$的下正则化函数，它属于Baire 1类函数（可以表示为一列连续函数的极限）。对于闭区间$[a,b]$上的有界Baire 1类函数，它的不连续点集是第一纲集（可数个无处稠密集的并），而根据勒贝格黎曼可积准则，有界函数黎曼可积当且仅当它的不连续点集勒贝格测度为0——第一纲集在勒贝格测度下一定是0测集，因此$\varphi$满足黎曼可积的条件。

另外从更基础的角度看：因为$f$有界，$\varphi$也必然有界（$\liminf$不会跳出$f$的取值范围），再结合$\varphi$是下半连续函数（对任意实数$c$，集合${x\mid \varphi(x) > c}$是开集），闭区间上的有界下半连续函数也确实是黎曼可积的。

二、为什么$\int_a^{b\varphi(x),dx=\underline{\int_a}b}f(x),dx$？ #

我们分两个方向证明不等式，最后得到等式：

1. 证明$\int_a^{b\varphi(x),dx\geq\underline{\int_a}b}f(x),dx$ #

回忆下积分的定义：$\underline{\int_a^{b}f(x),dx$是$f$在所有分割$P$下的Darboux下和$L(f,P)=\sum_{i=1}}n m_i\Delta x_i$的上确界，其中$m_i=\inf_{[x_{i-1},x_i]}f(t)$。

对于任意分割$P$的小区间$[x_{i-1},x_i]$，对其中任意一点$x$，$\varphi(x)=\lim_{\delta\to0}\inf_{t\in(x-\delta,x+\delta)\cap[a,b]}f(t)$——这个极限是$x$邻域内$f$的下确界，显然不会小于整个小区间$[x_{i-1},x_i]$上的下确界$m_i$，即$\varphi(x)\geq m_i$对所有$x\in[x_{i-1},x_i]$成立。

因此，$\varphi$在该小区间上的下确界也$\geq m_i$，对应的Darboux下和$L(\varphi,P)\geq L(f,P)$。对所有分割取上确界，就有$\underline{\int_a^{b}\varphi(x),dx\geq\underline{\int_a}b}f(x),dx$。而因为$\varphi$黎曼可积，它的上下积分相等，即$\int_a^{b\varphi(x),dx=\underline{\int_a}b}\varphi(x),dx$，所以这部分不等式得证。

2. 证明$\int_a^{b\varphi(x),dx\leq\underline{\int_a}b}f(x),dx$ #

这里可以用上下半连续函数的逼近性质：对于下半连续函数$\varphi$，任意$\varepsilon>0$，存在连续函数$g:[a,b]\to\mathbb{R}$，满足$g(x)\leq\varphi(x)$对所有$x$成立，且$\int_a^{b\varphi(x),dx\leq\int_a}b g(x),dx+\varepsilon$。

因为$g(x)\leq\varphi(x)=\liminf_{t\to x}f(t)$，所以对每个$x\in[a,b]$，存在$\delta_x>0$，当$t\in(x-\delta_x,x+\delta)\cap[a,b]$时，$f(t)>g(x)-\varepsilon$。用有限覆盖定理，取有限个这样的邻域覆盖$[a,b]$，对应一个分割$P$，使得每个小区间都被某个邻域包含。

在每个小区间$[x_{i-1},x_i]$上，$f(t)\geq g(x)-\varepsilon$对所有$t\in[x_{i-1},x_i]$成立（因为小区间在某个$x$的邻域内），因此该区间上的下确界$m_i=\inf_{[x_{i-1},x_i]}f(t)\geq\inf_{[x_{i-1},x_i]}g(x)-\varepsilon$。

对应的Darboux下和$L(f,P)\geq L(g,P)-\varepsilon(b-a)$。而$g$是连续函数，它的黎曼积分等于Darboux下和的上确界，即$\int_a^b g(x),dx=\sup_P L(g,P)$，因此$\underline{\int_a^{b}f(x),dx\geq\int_a}b g(x),dx-\varepsilon(b-a)$。

结合之前的逼近式：
$$
\int_a^{b\varphi(x),dx\leq\int_a}b g(x),dx+\varepsilon\leq\underline{\int_a^b}f(x),dx+\varepsilon(b-a)+\varepsilon
$$
令$\varepsilon\to0$，就得到$\int_a^{b\varphi(x),dx\leq\underline{\int_a}b}f(x),dx$。

3. 结合两个方向，等式成立 #

既然两边的不等式都成立，那只能是$\int_a^{b\varphi(x),dx=\underline{\int_a}b}f(x),dx$。

关于Fatou引理的联系 #

你提到的Fatou引理确实能帮我们从另一个角度理解：我们可以把$\varphi(x)$写成一列函数的极限——令$f_n(x)=\inf_{|t-x|<1/n}f(t)$，那么${f_n}$是递增的函数列，且$\lim_{n\to\infty}f_n(x)=\varphi(x)$。根据勒贝格单调收敛定理，$\int_a^{b\varphi(x),dx=\lim_{n\to\infty}\int_a}b f_n(x),dx$。

而每个$f_n(x)$都满足：对任意分割$P$（当小区间长度小于$1/n$时），$f_n(x)\geq\inf_{[x_{i-1},x_i]}f(t)$，因此$L(f,P)\leq L(f_n,P)$，进而$\underline{\int_a^{b}f(x),dx\leq\int_a}b f_n(x),dx$。取极限后就得到$\underline{\int_a^{b}f(x),dx\leq\int_a}b\varphi(x),dx$，和之前的结论一致。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Vivic