嘿，这个问题挺有意思的！咱们一步步拆解来看，答案并没有统一的“大于”或“小于”——得分情况讨论：

先看几个直观例子 #

• 当n=1时：2¹-1=1，约数个数是1；n=1的约数个数也是1，两者相等。
• 当n=2、3、5、7这些素数时：对应的2ⁿ-1分别是3、7、31、127，都是梅森素数，它们的约数个数都是2，和素数n本身的约数个数（只有1和自身，共2个）相等。
• 当n=4（合数）时：2⁴-1=15，约数有1、3、5、15，共4个；n=4的约数只有1、2、4，共3个——这时候梅森数的约数个数更多。
• 当n=11（素数但对应的梅森数是合数）时：2¹¹-1=2047=23×89，约数个数是4，而n=11的约数个数是2，显然梅森数的约数个数更多。
• 再拿大一点的合数n=12来看：2¹²-1=4095=3²×5×7×13，用约数个数公式（分解质因数后各指数加1相乘）算出是(2+1)(1+1)(1+1)(1+1)=24个；n=12的约数只有1、2、3、4、6、12，共6个，还是梅森数的约数更多。

背后的核心逻辑 #

你之前尝试因式分解和模n没得到结论，其实关键在于梅森数的结构特性：

• 如果n有一个大于1的因数d，那么2ᵈ - 1一定是2ⁿ - 1的因数（因为n是d的倍数，2ⁿ - 1可以分解为(2ᵈ - 1)(2^(n-d) + 2^(n-2d) + ... + 1)）。所以当n是合数时，2ⁿ-1至少有多个不同的因数，而合数n的约数个数增长相对缓慢，自然梅森数的约数个数会超过它。
• 当n是素数时，只有当2ⁿ-1本身也是素数（也就是梅森素数）时，两者的约数个数才会相等；如果2ⁿ-1是合数（比如n=11、23这类素数），那它的约数个数至少是4，肯定大于素数n的约数个数2。

最终结论 #

• 只有当n=1，或者n是梅森素数的指数（即n是素数且2ⁿ-1也是素数）时，2ⁿ-1的约数个数和n的约数个数相等；
• 对于其他所有正整数n，2ⁿ-1的约数个数都大于n的约数个数；
• 不存在任何正整数n，使得2ⁿ-1的约数个数小于n的约数个数。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者notabot