已知$x^2-px+1$是$x3-2x-3r$的因式，其中$p,r \in\Bbb R$且$p<0$，求$p$和$r$的值。

第一种长除法推导过程 #

$$
\begin {array}{c|c|c}
x^2-px+1 & x^3-2x-3r& x+p \\
& x^3-px2+x & \\
\hline
&px^2-3x-3r & (1) \\
&px^2-p2x+p & (2)
\end {array}
$$
原解法通过直接对比(1)和(2)的系数，得到$p^2=3$且$-3r=p$，再结合$p<0$求解$p$和$r$。但这种方法看起来不够严谨，完全依赖于“两个表达式看起来完全一致”的直观判断。

完整长除法的余数推导 #

如果继续完成长除法的减法步骤，会得到余数项：
$$
\begin {array}{c|c|c}
x^2-px+1 & x^3-2x-3r& x+p \\
& x^3-px2+x & \\
\hline
&px^2-3x-3r & \\
&px^2-p2x+p & \\
\hline
&(p^2-3)x-(p+3r) &
\end {array}
$$

我的疑问 #

这里我有个困惑：为什么不能继续用$x^{2-px+1$乘以$\dfrac{p}2-3}{x}$来消掉这个余数呢？我知道这么做是错的，但从长除法的流程来看，似乎应该继续运算直到没有余数为止。我真正想搞懂的是，解决这类问题的核心原理是什么，而不是仅仅靠“碰巧两个表达式看起来一样”来对比系数求解。

核心原理解答 #

其实这里的关键在于多项式除法的余数规则：当我们用一个$n$次多项式$A(x)$去除另一个$m$次多项式$B(x)$（$m \geq n$）时，得到的商式$Q(x)$和余式$R(x)$必须满足：
$$B(x) = A(x) \cdot Q(x) + R(x)$$
而且余式$R(x)$的次数必须严格小于除式$A(x)$的次数，或者余式为零多项式。

回到你的问题，除式$x^{2-px+1$是二次多项式，所以余式最多只能是一次多项式（形如$ax+b$），或者是零。而题目里说$x}2-px+1$是$x^3-2x-3r$的因式，这意味着余式必须是零多项式——也就是余式里$x$的系数和常数项都得是0。

那为什么不能乘以$\dfrac{p^{2-3}{x}$呢？因为多项式的定义要求每一项的次数都是非负整数，$\dfrac{1}{x}$相当于$x}{-1}$，这已经不是多项式了，长除法里的商式必须是多项式，不能出现负次数的项，所以这一步是不合法的。

所以正确的做法应该是：既然余式$(p^2-3)x-(p+3r)$必须是零多项式，那它的各项系数都得为0，也就是：

• $x$的系数：$p^2 - 3 = 0$
• 常数项：$-(p + 3r) = 0$

再结合题目里的条件$p<0$，就能解出：
$p = -\sqrt{3}$，然后代入第二个式子得$r = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$

这样就不是靠“看两个式子一样”来凑答案，而是基于多项式除法的基本规则推导出来的，逻辑上就严谨多了。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者ronald christenkkson