嗨，你已经把问题拆解到关键节点啦，我来帮你把最后一步的推导补全：

你已经明确勒贝格可测集可以写成 ( E = B \cup N )，其中 ( B \in \mathcal{B}{\mathbb{R}^n} )（Borel集），( N \subset F )，( F \in \mathcal{B}{\mathbb{R}^n} ) 且 ( m(F)=0 )，调整后 ( B \cap N = \emptyset )，同时 ( m(E)=m(B) )，也知道对Borel集有 ( m(T(B))=|\det T|m(B) )。接下来只需要解决两个核心点：

• 可逆线性变换保持零测集性质：
  因为 ( T \in GL(n,\mathbb{R}) )，它是可逆的，所以逆变换 ( T^{-1} ) 也属于 ( GL(n,\mathbb{R}) )。对于Borel零测集 ( F )，直接套用Borel集的测度变换结论，可得 ( m(T(F))=|\det T|m(F)=0 )。而 ( T(N) \subset T(F) )，根据勒贝格测度的单调性，子集的测度不会超过母集的测度，因此 ( m(T(N)) \leq m(T(F))=0 )，自然 ( m(T(N))=0 )。

• 用测度可加性合并结果：
  可逆变换是双射，所以 ( T(B) ) 和 ( T(N) ) 也是不交的。根据测度的有限可加性：
  $$
  m(T(E))=m(T(B \cup N))=m(T(B) \cup T(N))=m(T(B))+m(T(N))
  $$
  代入已知结论：( m(T(B))=|\det T|m(B) )，( m(T(N))=0 )，再结合 ( m(E)=m(B) )，就能得到：
  $$
  m(T(E))=|\det T|m(B)+0=|\det T|m(E)
  $$

书里写得比较简洁，是因为这部分本质上是用Borel集的结论，结合勒贝格测度的单调性、可加性这些基本性质来推广，核心就是可逆线性变换能把零测集映射成零测集——这也是勒贝格可测集能继承Borel集测度变换结论的关键原因。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者sam2018