三元正实数条件极值问题求解问询

设 (a,b,c) 为正实数，使得表达式 (\dfrac{3a^2+b2+3c^2}{ab+bc+ca}) 取得最小值。若 (abc=432)，求表达式 (3a+b+c) 的值？

我觉得我对这个问题有了一点头绪：要让这个表达式取最小值，应该满足 (a < b < c)，而且这几个数之间的差距应该比较大（我猜测最小的差距是9）。不过到这里我就卡住了，有没有人能给我其他的解题思路呀？谢谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Happy