嗨，看起来你已经在用数学归纳法推进证明了，其实不用做第二次归纳就能收尾，而且还有更直接的代数方法可以简化整个过程，咱们来拆解一下：

先解决你归纳步骤里的最后疑问 #

你最后得到的式子是$\frac{1}{2}(k+1)(k+2)$，要确认这个是整数很简单：

• $(k+1)$和$(k+2)$是连续的两个整数，连续整数里必然有一个是偶数（能被2整除）
• 所以它们的乘积$(k+1)(k+2)$一定是2的倍数，除以2之后自然是整数
• 这就说明$\frac{3(k+1)+3(k+1)^2}{6}$是整数，也就完成了归纳的递推步骤，不需要额外再做一次归纳啦

更简洁的直接证明（不用归纳法） #

其实我们可以先对原式做因式分解，一步到位：
$$3k + 3k^2 = 3k(k+1)$$
观察这个结果：

• $k$和$k+1$是连续整数，所以其中必有一个是偶数，即$k(k+1)$能被2整除
• 再乘以3之后，整个式子就同时能被2和3整除，而2和3互质，所以必然能被$2\times3=6$整除

这样是不是比归纳法更直接？两种方法都能帮你完成证明，看你更喜欢哪种思路啦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Superunknown