嘿，这个问题问得很到位！你已经明确了$\Leftarrow$方向的正确性，这点完全没问题——如果连续非负函数$f(x)$在$[0,1]$上处处严格小于1，那么积分$\int_0^1 fdx$必然小于$\int_0^1 1dx=1$，毕竟被积函数全程更小，积分结果自然也会更小。

不过$\Rightarrow$方向就不一定成立了，也就是说积分小于1推不出$f(x)$在$[0,1]$上处处小于1。我们可以构造一个简单的反例来验证：

比如定义这样一个连续非负函数：

• 在区间$[0, \frac{1}{4}]$上，$f(x)$从0线性上升到1.8；
• 在区间$[\frac{1}{4}, \frac{1}{2}]$上，$f(x)$从1.8线性下降到0；
• 在区间$[\frac{1}{2}, 1]$上，$f(x)$恒为0。

计算它的积分：这是一个底为$\frac{1}{2}$、高为1.8的三角形，积分值为$\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times 1.8 = 0.45 < 1$，完全满足$\int_0^1 fdx <1$的条件，但$f(\frac{1}{4})=1.8>1$，显然不满足$f<1$（这里的$f<1$指对所有$x\in[0,1]$，$f(x)<1$）。

本质原因在于，连续函数可以在局部区间取到大于1的峰值，只要这个峰值对应的区间足够“窄”，整体的积分累加结果依然可以小于1——积分衡量的是函数在区间上的整体“面积”，局部的高峰只要占的面积足够小，就不会让总面积超过1。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Mathbds