嘿，我来帮你把这个证明拆解得明明白白——你猜的那个表达式T⁻¹[B] = x + T⁻¹[A]完全正确，关键是别被“逆映射”的字眼困住，这里的T⁻¹[S]只是集合S在T下的原像集（不管T是不是单射都有定义），咱们从仿射子空间的核心定义出发一步步证：

先明确已知条件 #

• B是W的仿射子空间，所以存在固定元素a ∈ W，以及W的子空间A，使得B = a + A = {a + v | v ∈ A}
• T ∈ Hom(V, W)意味着T是线性映射，满足：
  • T(u₁ + u₂) = T(u₁) + T(u₂) 对任意u₁,u₂ ∈ V
  • T(cu) = cT(u) 对任意u ∈ V、标量c
• 假设T⁻¹[B] ≠ ∅，所以至少存在一个x ∈ V，使得T(x) ∈ B，也就是T(x) = a + u₀（其中u₀ ∈ A）

第一步：证明T⁻¹[B] = x + T⁻¹[A] #

集合相等的证明通常分两个方向：左边⊆右边和右边⊆左边

方向1：T⁻¹[B] ⊆ x + T⁻¹[A]

任取z ∈ T⁻¹[B]，根据原像集的定义，T(z) ∈ B，所以T(z) = a + u（其中u ∈ A）
因为x ∈ T⁻¹[B]，所以T(x) = a + u₀（u₀ ∈ A）
利用T的线性性，计算：

T(z - x) = T(z) - T(x) = (a + u) - (a + u₀) = u - u₀

由于A是W的子空间，子空间对减法封闭，所以u - u₀ ∈ A，这意味着z - x ∈ T⁻¹[A]
因此z = x + (z - x) ∈ x + T⁻¹[A]，左边包含于右边得证。

方向2：x + T⁻¹[A] ⊆ T⁻¹[B]

任取y ∈ x + T⁻¹[A]，根据集合定义，y = x + w（其中w ∈ T⁻¹[A]，也就是T(w) ∈ A）
利用T的线性性计算T(y)：

T(y) = T(x + w) = T(x) + T(w) = (a + u₀) + T(w)

因为u₀ ∈ A且T(w) ∈ A，子空间对加法封闭，所以u₀ + T(w) ∈ A
因此T(y) = a + (u₀ + T(w)) ∈ a + A = B，说明y ∈ T⁻¹[B]，右边包含于左边得证。

第二步：验证x + T⁻¹[A]是V的仿射子空间 #

要确认这一点，只需要证明T⁻¹[A]是V的子空间：

1. 包含零元素：T(0) = 0 ∈ A（A是子空间必含0），所以0 ∈ T⁻¹[A]
2. 加法封闭：若w₁,w₂ ∈ T⁻¹[A]，则T(w₁ + w₂) = T(w₁) + T(w₂) ∈ A + A = A，所以w₁ + w₂ ∈ T⁻¹[A]
3. 数乘封闭：若w ∈ T⁻¹[A]，标量c，则T(cw) = cT(w) ∈ cA = A，所以cw ∈ T⁻¹[A]

既然T⁻¹[A]是V的子空间，那么x + T⁻¹[A]就符合仿射子空间的定义（固定元素加子空间）。

补充说明：关于“associated map” #

你之前看到的“associated map”应该是指仿射映射对应的线性部分，但咱们这个证明完全不需要这个概念——直接用线性映射的性质和原像集的定义就搞定了，不用纠结那个复杂的说法。

最后，如果T⁻¹[B]是空集，那自然满足题目“要么空要么仿射子空间”的结论，完美覆盖所有情况。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者112114116118