我需要帮我完成这个几何证明：
在△ABC中，AD和BE是中线，交于点F。点G是线段BF的中点，延长AG交BC于点H。证明BC=5BH。

我目前已经推导出来的结论： #

• BD=DC（AD是BC边上的中线，D为BC中点，这里我之前写错成AD=DC啦😅）
• AE=EC（BE是AC边上的中线，E为AC中点）
• BG=GF=FE（因为中线交点F是重心，重心分中线为2:1，即BF:FE=2:1；又G是BF中点，所以BG=GF，进而BG=GF=FE）
• ED∥AB（E、D分别是AC、BC中点，根据中位线定理，ED是△ABC的中位线，所以ED平行于AB且ED=½AB）

不过我实在看不出这些结论怎么帮我完成证明，希望能得到帮助。

解法一：坐标法（直观易算） #

我们可以通过给三角形设定坐标，把几何问题转化为代数计算来验证：

1. 为了方便计算，设点B在坐标原点(0,0)，点C在(5,0)，这样BC的长度就是5，我们只需要证明BH=1即可。
2. 设点A的坐标为(2a, 2b)（用偶数系数能避免后续分数运算）：
   • D是BC中点，坐标为(2.5, 0)；
   • E是AC中点，坐标为((2a+5)/2, b)；
3. 重心F的坐标是△ABC三点坐标的平均值，即((0+5+2a)/3, (0+0+2b)/3) = ((2a+5)/3, 2b/3)；
4. G是BF中点，所以G的坐标为((2a+5)/6, b/3)；
5. 求直线AG的方程：
   • 计算AG的斜率：(b/3 - 2b) / [(2a+5)/6 - 2a] = 2b/(2a-1)；
   • 直线方程为：y - 2b = [2b/(2a-1)](x - 2a)；
6. 点H在BC上（BC是y=0的直线），代入方程求解x：
   • 代入y=0得：-2b = [2b/(2a-1)](x - 2a)；
   • 两边除以2b（b≠0，否则A、B、C共线，构不成三角形），化简后得到x=1；
7. 所以H点坐标是(1,0)，BH的长度是1，而BC长度是5，因此BC=5BH，得证。

解法二：向量法（代数推导更严谨） #

用向量来表示各点关系，也能快速得出结论：

1. 设向量BA=u，向量BC=v；
2. E是AC中点，所以向量BE=(BA+BC)/2=(u+v)/2；
3. 重心F分中线BE的比为2:1，因此向量BF=(2/3)BE=(u+v)/3；
4. G是BF中点，所以向量BG=(1/2)BF=(u+v)/6；
5. 向量AG=BG-BA=(u+v)/6 - u=(-5u + v)/6；
6. 设AH=t·AG（t为实数），同时AH=BH-BA，而BH=s·BC=s·v（s为BH与BC的比例），所以：
   • s·v - u = t·(-5u + v)/6；
7. 对比等式两边向量u和v的系数：
   • 对于u：-1 = -5t/6，解得t=6/5；
   • 对于v：s = t/6 = (6/5)/6=1/5；
8. 这说明BH=(1/5)BC，即BC=5BH，得证。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Arnon Axelrod