嘿，我完全懂你自学时碰到这种“看起来说了等于没说”的定义时的挠头感！其实这个定义一点都不冗余，咱们掰开揉碎了说：

首先，你说“同胚已经保留了拓扑空间的特征”，这话没错，但“拓扑空间的特征”是个太宽泛的说法了——到底啥是特征？是能不能分成两个不相交的非空开集？是不是任何开覆盖都有有限子覆盖？还是那个叫欧拉示性数的数值？

拓扑不变性的定义，其实是把这个模糊的“保留特征”具象成了具体可验证的性质：它明确告诉我们，那些在同胚映射下不会改变的性质，才是拓扑学真正关心的核心性质——这些性质就是拓扑不变量。

举个实际的例子你就懂了：

• 圆和正方形是同胚的，所以它们的连通性、紧致性、欧拉示性数这些拓扑不变量完全一致；
• 但圆和直线就不一样，直线不是紧致的，而圆是，仅凭这一个拓扑不变量的差异，我们就能直接断定它们不可能同胚，这可比直接构造同胚映射（或者证明不存在）简单多了。

还有个关键点：拓扑空间上可能附带很多非拓扑的性质，比如如果它是欧氏空间的子集，长度、面积这些就不是拓扑不变量——你可以把圆拉伸成椭圆，面积变了，但它们还是同胚的。拓扑不变性的定义，其实是帮我们划了一条线：区分开哪些性质是由拓扑结构本身决定的，哪些是依赖于额外结构（比如度量）的。

所以这个定义不是废话，它是给拓扑学的研究指明了具体的方向和可操作的工具呀！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者SourBiscuit