咱们一步一步拆解你困惑的这两个关键点，很快就能搞明白啦：

第一个疑问：2M是怎么来的？ #

你这里有个小笔误要先纠正下：三角不等式是 |a - b| ≤ |a| + |b|，不是|a| - |b|哦～
已知f在[0,1]上有界，|f(x)| ≤ M对所有x∈[0,1]成立，而p/n显然也在[0,1]区间内，所以|f(p/n)| ≤ M。代入三角不等式就有：
$$|f(x) - f(p/n)| ≤ |f(x)| + |f(p/n)| ≤ M + M = 2M$$
这是一个比较粗糙但有效的放缩，足够支撑后续的推导。

第二个疑问：怎么从有限求和转到全范围求和，还出现了(p-nx)²？ #

这里用到了分析里非常常用的非负项放缩技巧，核心逻辑很简单：
当$|p - nx| > δn$时，两边平方（因为平方后不等号方向不变，且都是非负数），可以得到：
$$(p - nx)^2 > (δn)^2$$
两边同时除以$(δn)^2$，就有：
$$1 < \frac{(p - nx)^2}{δ2 n^2}$$
因为$r_p(x)$是二项分布的概率质量函数，在x∈[0,1]时$r_p(x) ≥ 0$，所以对于每个满足$|p - nx| > δn$的p，我们可以把$r_p(x)$写成：
$$r_p(x) = 1·r_p(x) < \frac{(p - nx)^2}{δ2 n^2}·r_p(x)$$
接下来对所有满足$|p - nx| > δn$的p求和，左边就是$\sum_{|p-nx| > δn} r_p(x)$，右边是$\sum_{|p-nx| > δn} \frac{(p - nx)^2}{δ2 n^2} r_p(x)$。

现在，我们把右边的求和范围扩展到p从0到n的全部项——因为对于不满足$|p - nx| > δn$的项（也就是$|p - nx| ≤ δn$的项），$\frac{(p - nx)^2}{δ2 n^2} r_p(x)$是非负的，加上这些项只会让求和结果变大，不会变小，所以：
$$\sum_{|p-nx| > δn} \frac{(p - nx)^2}{δ2 n^2} r_p(x) ≤ \sum_{p=0}^n \frac{(p - nx)^2}{δ2 n^2} r_p(x)$$
把常数因子$\frac{1}{δ^2 n^2}$提出来，就得到：
$$\sum_{|p-nx| > δn} r_p(x) ≤ \frac{1}{δ^2 n^2} \sum_{p=0}^n (p - nx)^2 r_p(x)$$

把两个步骤结合起来 #

把第一个放缩的2M和第二个放缩的结果结合，就得到了你疑惑的那个完整不等式：
$$
\bigg|\sum_{|p-nx| > \delta n} (f(x) - f(p/n))r_p(x)\bigg| \leq 2 M \sum_{|p-nx| > \delta n} r_p(x) \leq \dfrac{2M}{n^2\delta2} \sum_{p = 0}^n (p - nx)^2 r_p(x)
$$

后面你提到的代入$\sum_{p=0}^n (p-nx)^2 r_p(x) = nx(1-x)$，然后当n→∞时这个项趋近于0，这部分的理解是完全正确的～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Heidegger