嘿，咱们来一步步拆解这个问题：已知 (a \neq 0)，要找出所有非零整数 (a)，使得方程 a²|a + x| + |a²x + 1| = |a³ - 1| 有唯一解 (x)。

正整数 (a) 的情况分析 #

当 (a=1) 时：

把 (a=1) 代入方程，左边变成 (1²|1+x| + |1·x +1| = |x+1| + |x+1| = 2|x+1|)，右边是 (|1³ -1| = 0)。
方程简化为 (2|x+1|=0)，唯一解是 (x=-1)，完全符合“唯一解”的要求。

当 (a \geq 2) 时：

右边 (|a³ -1| = a³ -1)（因为 (a³ \geq 8 >1)）。我们拆分x的取值区间讨论：

• 当 (x) 满足 (-a \leq x < -\frac{1}{a²}) 时，左边化简后刚好等于 (a³ -1)，和右边相等。
  这个区间是非空的（比如 (a=2) 时，区间是 ([-2, -1/4))），意味着区间内所有 (x) 都是解，有无穷多个，不符合“唯一解”的条件。

负整数 (a) 的情况分析 #

当 (a=-1) 时：

代入方程，左边是 ((-1)²|-1+x| + |(-1)²x +1| = |x-1| + |x+1|)，右边是 (|(-1)³ -1| = 2)。
方程变成 (|x-1| + |x+1| =2)，它的解是 (x \in [-1,1])，有无穷多个解，不符合要求。

当 (a \leq -2) 时：

右边 (|a³ -1| = 1 - a³)（因为 (a³ \leq -8)，(a³-1) 是负数，绝对值为其相反数）。
同样拆分区间讨论：

• 当 (x) 满足 (-\frac{1}{a²} \leq x < -a) 时，左边化简后等于 (1 - a³)，和右边相等。
  这个区间也是非空的（比如 (a=-2) 时，区间是 ([-1/4, 2))），区间内所有 (x) 都是解，有无穷多个，不符合条件。

最终结论 #

只有当 (a=1) 时，方程有唯一解。所以满足条件的非零整数 (a) 的个数是 1。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者kasparovian