嗨，我来帮你理清这些困惑，咱们一步一步拆解：

一、能不能默认$z_1,z_2$是实数？ #

答案是不一定，完全取决于你讨论微分方程的场景：

• 如果是在实分析入门框架下，教材通常会默认系数$z_1,z_2$为实数——因为实系数方程在物理、工程等实际场景中应用更广泛，而且实系数下特征根的性质（实根、共轭复根）更容易和实值解的行为对应，入门阶段更易理解。
• 如果是在复分析场景下，系数完全可以是复数，这时候我们一般讨论复平面上的复值解，或者实变量的复值解。

之所以你觉得这点没被明确提过，是因为很多教材会先从实系数入门，后续拓展复系数时不会特意强调“之前的默认可以打破”，但这并不代表系数只能是实数。

二、复系数时怎么求特征根？ #

其实你一开始写的求根公式对复系数情况依然完全成立！
复数域是代数闭域，也就是说任何复系数多项式都能在复数域上分解为一次因式的乘积。对于特征方程$r^2+z_1 r+ z_2=0$，哪怕$z_1,z_2$是复数，求根公式：
$$r_{1,2} = \frac{-z_1\pm \sqrt {z_1^2 - 4 z_2}} {2}$$
依然有效。这里的$\sqrt{\cdot}$指复数的平方根——每个非零复数都有两个平方根，计算时可以把复数转成极坐标形式，开方后模长取原模长的平方根，辐角取原辐角的一半、以及一半加$\pi$即可。

举个简单例子：假设$z_1=1+i$，$z_2=i$，判别式$z_1^2-4z_2=(1+i)2-4i=-2i$，它的平方根是$1-i$和$-1+i$（因为$(1-i)^2=-2i$），代入公式就能得到特征根。

三、复系数下解的极限分析怎么做？ #

你提到的$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac {y(x)}{e^x} = 0$这个问题，核心还是看特征根的实部：
复系数微分方程的通解形式和实系数时一致：

• 若特征根$r_1\neq r_2$，通解为$y(x)=C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$；
• 若特征根$r_1=r_2=r$，通解为$y(x)=(C_1+C_2 x)e^{r x}$。
  其中$C_1,C_2$是复常数，$r_1,r_2$是复特征根。

对于复根$r=\alpha+i\beta$（$\alpha,\beta$为实数），$e^{r x}=e^{\alpha x}(\cos\beta x+i\sin\beta x)$，它的模长是$e^{\alpha x}$。当$x\rightarrow\infty$时：

• 若$\alpha < 1$，则$e^{\alpha x}$增长速度远慢于$e^{x$，$\frac{e}{r x}}{e^x}=e{(\alpha-1)x}\rightarrow0$；
• 若$\alpha = 1$，则$\frac{e^{r x}}{e^x}=e{i\beta x}$，模长始终为1，极限不存在（除非$\beta=0$，此时极限为1，也不等于0）；
• 若$\alpha > 1$，则$\frac{e^{r x}}{e^x}=e{(\alpha-1)x}\rightarrow\infty$。

所以不管系数是实还是复，只要两个特征根的实部都小于1，通解$y(x)$除以$e^x$的极限就是0；只要有一个特征根的实部大于等于1，这个极限就不会是0（或不存在）。

如果想通过复系数$z_1,z_2$直接推导特征根实部，可以用韦达定理：假设$z_1=a+bi$，$z_2=c+di$（$a,b,c,d$为实数），特征根$r_1=\alpha_1+i\beta_1$，$r_2=\alpha_2+i\beta_2$，则：

• $\alpha_1+\alpha_2=-a$（由$r_1+r_2=-z_1$取实部）；
• $\alpha_1\alpha_2 - \beta_1\beta_2=c$（由$r_1 r_2=z_2$取实部）。
  不过多数时候，直接算出特征根再取实部会更直接。

最后补充你提到的算子问题：

• 讨论实值解时，算子是$T:C^2(\mathbb R)\rightarrow C(\mathbb R)$，此时系数为实数，解也是实值函数；
• 讨论复值解时，算子可以是$T:C^2(\mathbb C)\rightarrow C(\mathbb C)$（复平面上的复值函数），或者$T:C^2(\mathbb R)\rightarrow C(\mathbb C)$（实变量的复值函数）——这些细节教材确实很少特意强调，但本质只是定义域和值域的区别，不影响特征根的求解公式。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user135172